Raggruppamenti di 3° ordine in varie basi - classe terza

Bruno e Bassotto sanno benissimo che nella galassia Matematica ci sono i pianeti dei numeri. Su ogni pianeta ci sono regole particolari per contare e scrivere i numeri. Ad esempio sul pianeta del 4 si conta sempre in base 4, cioè si raggruppa e si cambia ogni volta che si hanno 4 elementi; sul pianeta del 5 si conta sempre in base 5, cioè si raggruppa e si cambia ogni volta che si hanno 5 elementi e così via…

Ora Bruno e Bassotto ci hanno inviato un quesito:

“ Babbo Natale ci ha chiesto aiuto per spedire sul pianeta del 2 un certo numero di Play Station Megagalattiche (PSM) che serviranno per i regali di Natale. Esattamente vuole che ne spediamo una quantità che voi, sul pianeta del 10, chiamate 13. Come dovremo indicarlo noi per farci capire dai bambini del paese del 2?”

Attenzione! E’ un compito importante, qui si tratta di aiutare non solo Bruno e Bassotto ma anche Babbo Natale.

Allora cominciamo, prendiamo 13 unità dei regoli o del materiale multibase: ogni unità rappresenta una PSM.

Raggruppiamo per 2 cambiando le unità in lunghi, effettuando cioè un raggruppamento di 1° ordine.

I lunghi sono 6 quindi raggruppiamo per 2 e cambiamo poi i lunghi in piatti: questo è un raggruppamento di 2° ordine.

I piatti sono 3 quindi raggruppiamo per 2 e cambiamo i piatti in cubi: raggruppamento di 3° ordine.

Ora registriamo in tabella

Ecco, ora sappiamo che Bruno e Bassotto dovranno indicare la quantità così: 1101_(2).

Ora che sappiamo come fare, proviamo a vedere come si rappresentano 31 u in base 3.

Proviamo anche ad effettuare  cambi usando una tabella

Vedi U. A. di riferimento

La tabella della moltiplicazione e le tabelline - classe terza

Rivediamo i termini della moltiplicazione: a questo proposito potrebbe essere utile una mia presentazione in PowerPoint con i "numeri uccelli".
Propongo poi la tabella della moltiplicazione da completare. Alla classica tabella che costringe gli alunni a destreggiarsi tra righe e colonne, con il rischio di perdere di vista il risultato delle operazioni, io ne preferisco un'altra, da me costruita, che concentra l'attenzione sulle moltiplicazioni e sul loro risultato.
Bruno e Bassotto mentre salgono in seggiovia osservano curiosi le scatole d’acciaio penzolanti nel vuoto e si divertono ad immaginare quante persone potrebbero salire con la funivia. Eh, già, è proprio la funivia. Bassotto estrae dal taschino una scheda come quella che ora vi propongo io.

Nella prima colonna è indicato il numero di persone che potrebbero salire sulla funivia. Prima non c’è nessuno, poi una persona, poi 2, 3, ecc. Nella prima riga invece è indicato il numero delle cabine che salgono.

Ora, usando questa tabella, siamo in grado di sapere quante persone potrebbero esserci in tutto sulla funivia in ogni momento. Ad esempio se ci sono 4 persone in ogni cabina e le cabine sono 7, quante persone stanno salendo? Dove lo scriviamo?
Fai clic per stampare la tabella (con disegni e senza disegni)

Il completamento della tabella ci darà modo anche di renderci conto della situazione della classe riguardo alla conoscenza delle tabelline, in modo da poter intervenire ed ovviare ai problemi riscontrati, attraverso un ripasso oppure con l'aiuto di giochi che aiutino la memorizzazione (nel link delle risorse presenti sotto ci sono molte indicazioni utili).
Completata la tabella potremo procedere alle osservazioni, che trascriveremo in calce alla tabella stessa. Dovrebbe emergere:

• la moltiplicazione è sempre possibile
• Osservando la prima riga e la prima colonna dove abbiamo moltiplicato per 0, ci accorgiamo che i numeri sono diventati tutti zero. Lo zero è l’elemento assorbente o annullante della moltiplicazione.
• Osservando la seconda riga e la seconda colonna dove abbiamo moltiplicato per 1, ci accorgiamo che i numeri sono rimasti uguali. L’uno è l’elemento neutro della moltiplicazione.
• la moltiplicazione è commutativa. Possiamo allora mettere la freccia a doppia punta nella prima casella?

Introduciamo il concetto di multiplo di un numero come serie infinita che si ottiene moltiplicando quel numero per tutti gli altri numeri. Vediamo alcuni esempi, curando di non fermarci ai canonici multipli che si ottengono moltiplicando per 10, ma proseguendo ancora in modo che gli alunni afferrino bene l'idea che si potrebbe proseguire all'infinito. Dopo aver scritto alcune serie di multipli possiamo procedere ad alcune osservazioni.
Osserviamo: i multipli di 8 sono anche multipli di 4; i multipli di 4 sono anche multipli di 2, i multipli di 9 sono anche multipli di 3; i multipli di 6 sono anche multipli di 2 e di 3.

Una lezione per Lim sulle tabelline
Un test/gioco on line per i tuoi alunni
Una verifica da stampare sulla moltiplicazione
Ulteriori risorse dal Web per la classe seconda
Ulteriori risorse dal Web per la classe terza
Vedi U. A. di riferimento

I significati della moltiplicazione - classe terza

Iniziamo le attività della quarta U. A.: “La montagna”.

Come ormai prassi consolidata illustriamo agli alunni i traguardi di conoscenza che ci proponiamo di raggiungere ed elenchiamoli sul quaderno.
Al termine del quarto percorso "La montagna" dovrai aver imparato a:
• Conoscere gli angoli
• Conoscere il migliaio ed i numeri oltre il 1000
• Conoscere la moltiplicazione e le sue proprietà
• Memorizzare in modo sicuro le tabelline
• Eseguire moltiplicazioni in colonna con due cifre al moltiplicatore
• Risolvere problemi con due domande e due operazioni
Bruno e Bassotto sono andati in montagna, aspettandosi di trovare i monti altissimi, brulli e spogli che si ergono nella loro Galassia ed invece hanno trovato un paesaggio fiabesco e meraviglioso, con montagne ricoperte di boschi e con rocce dai mille colori ma la cosa più incredibile è una fredda polvere bianca che non conoscevano e che ricopriva tutte le cose. C’era chi faceva delle palle con quella polvere e se le tirava, c’era chi ci scivolava sopra su strani assi di legno e c’era pure chi risaliva i fianci della montagna dentro scatole d’acciaio sospese ad un filo e penzolanti nel vuoto.

Mentre stavano osservando tutto ciò sentirono un urlo e videro arrivare a tutta velocità verso di loro un gruppo di bambini vestiti come astronauti, seguiti da un adulto che gridava, rivolto ai nostri due amici: “ Toglietevi di qua, voi due, non vedete che siete in mezzo alla pista?”. Bruno e Bassotto, impauriti, si spostarono di lato e si sedettero sulla polvere bianca a guardare quello strano gruppo che, nel frattempo, si era fermato.
Il maestro, perché di un maestro di sci si trattava, decise di organizzare una gara di sci a coppie tra i suoi allievi ma ogni coppia doveva essere costituita da un maschio e da una femmina. Gli allievi erano: Paolo, Andrea, Carlo, Elisa, Sandra, Sara. Quante coppie ha potuto formare il maestro di sci?
Vediamo di scoprirlo usando i diagrammi di Eulero – Venn

La rappresentazione è un po' confusa. Proviamo a rappresentare le coppie usando una tabella a doppia entrata.

Infine usiamo il diagramma cartesiano.

Chiediamo: quanti erano i bambini maschi? Quante le femmine? Quanti incroci? Quante le coppie possibili?
3 + 3 + 3 = 9
oppure
3 x 3 = 9
Scriviamo che la moltiplicazione serve per trovare le coppie possibili.

Dopo aver assistito alle nove discese delle coppie, Bassotto ha detto: “Deve essere divertente scivolare sulla polvere bianca! Potremmo provare anche noi. Ma come si fa a salire fin lassù?

Bruno gli ha risposto: “ Se lo vuoi fare, dobbiamo infilarci in quelle scatole penzolanti appese ad un filo.” Allora Bassotto: “No, io preferisco andare su quelle seggiole volanti”.
Fu così che cominciarono a scendere per dirigersi al punto di partenza della seggiovia, perché di questo si trattava. Si fermarono a studiarne il funzionamento. Non era proprio facile salirci e bisognava già avere ai piedi gli assi di legno.
Ogni seggiola volante portava 4 persone. Bruno e Bassotto ne vedono partire alcune.
Se su ogni sedile della seggiovia ci sono 4 persone, quante persone saranno salite su 8 sedili?
Rappresentiamo in forma grafica mettendo una crocetta per ogni persona ed usando i diagrammi di Venn e poi, più velocemente, usando uno schieramento. Rappresentiamo anche con i numeri:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32 oppure
4 x 8 = 32
Scriviamo che la moltiplicazione serve per trovare il totale nel caso di addizione ripetuta.

Propongo una scheda con esercizi tratti dal libro “ La carica dei 21” della casa editrice Juvenilia

Una lezione per Lim
Ulteriori risorse dal Web (moltiplicazione come addizione ripetuta)
Ulteriori risorse dal Web (moltiplicazione come prodotto cartesiano)
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Una verifica da stampare sulla moltiplicazione

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L'intersezione - classe terza

Br1 e Bass8 ci hanno mandato delle belle illustrazioni, affinché possiamo giocarci e mi hanno suggerito un gioco interessante. Ecco cosa mi hanno detto di fare: “ Le immagini dovrai stampare e nei diagrammi di Venn le dovrai sistemare”.
Distribuiamo ad alcuni alunni una serie di illustrazioni, dando l’incarico di sistemarle una per una al posto giusto nei diagrammi di Venn. Fai clic per stampare le illustrazioni.

Usciamo nell'atrio dove lo spazio è maggiore.

Formiamo sul pavimento due diagrammi di Venn: su uno mettiamo il cartellino “Insieme di frutti” e sull’altro mettiamo il cartellino “Insieme di cose rosse” e cominciamo ad inserire le immagini. Per alcune non ci saranno difficoltà.

Per altre immagini dobbiamo fare attenzione: “la mela è un frutto e quindi dovrei metterla nell’insieme dei frutti, ma è anche rossa quindi dovrei metterla anche nell’insieme delle cose rosse”. Come fare? Lasciamo che gli alunni riflettano e se non lo propongono loro, memori di lavori già fatti lo scorso anno, proponiamo noi di avvicinare i due diagrammi e di intersecarli. Come chiameremo questa nuova regione? Prepariamo ed inseriamo il relativo cartellino. In questo modo potremo sistemare tutti i frutti non rossi, i frutti rossi, le cose di colore rosso. E dove metteremo l’ombrello blu?

Rientriamo in classe e proseguiamo il lavoro sul quaderno. Rappresentiamo con i diagrammi di Venn.

Rappresentiamo con il diagramma di Carroll

Rappresentiamo con il diagramma ad albero

Scriviamo alcune frasi usando il connettivo e: la fragola è frutto e rosso, la mela è frutto e rosso, la banana è frutto e non è rosso.
Vediamo ora la tavola della verità per la congiunzione “e”.
Br1 ha promesso a Bass8: “Per Natale ti porto a sciare e a pattinare”.
Se non lo porta né a sciare né a pattinare ha mantenuto la promessa?
Se lo porta a sciare ma non a pattinare ha mantenuto la promessa?
Se lo porta a pattinare ma non a sciare ha mantenuto la promessa?
Se lo porta sia a sciare che a pattinare ha mantenuto la promessa?
Rappresentiamo la tavola della verità usando una pallina verde per indicare il vero ed una pallina rossa per indicare il falso.

Riflettiamo sul fatto che un enunciato con due condizioni legate dalla congiunzione e è vero solo se sono vere entrambe le condizioni.
Propongo poi una scheda di lavoro. Se vuoi stamparla fai clic qui.

Una lezione per Lim (adatta ad alunni di seconda e terza)
Ulteriori risorse dal Web
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Babbo Natale esiste!!!

Babbo Natale esiste: i nostri governanti l'hanno trovato! E quanti doni porterà!
Da uno dei tanti Babbo Natale d'Italia tanti auguri  a tutti i lettori del blog: auguri per le Feste ma soprattutto auguri per ciò che ci aspetterà!

This funky card is created by Giampaolo.
Create your own funky card at CardFunk.

Grazie, bambini!

Una volta tanto mi concedo una deviazione personale. Spero che capirete!

La proprietà invariantiva della sottrazione - classe terza

Nel bosco Bruno e Bassotto hanno incontrato due scoiattoli, Clip e Clap (questo è il nome che ho dato io per non infrangere i diritti d'autore della Disney ma i miei alunni se ne sono infischiati e li hanno chiamati diversamente) si sono molto divertiti a seguire un gioco che i due scoiattoli facevano.

Clip prende 7 noci, Clap ne prende 3 e i due si chiedono: “Qual è la differenza?”
Rappresentiamo con i regoli

Ciascuno aggiunge 2 noci. Qual è la differenza?

Ora ciascuno toglie 3 noci. Qual è la differenza?

Chiediamo agli alunni quali osservazioni si possono fare? Quasi sicuramente ci sarà chi dice che in una sottrazione possiamo aggiungere o togliere lo stesso numero ed il risultato non cambia.
Infatti la sottrazione gode della proprietà invariantiva: in una sottrazione possiamo aggiungere o sottrarre lo stesso numero al minuendo ed al sottraendo e la differenza non cambia.

Come già le proprietà dell'addizione, anche questa proprietà ci permette di semplificare i calcoli, ad esempio portando alla decina precedente o successiva il minuendo o il sottraendo.
Consideriamo, ad esempio, la sottrazione 136 - 37 e proviamo ad applicare la proprietà invariantiva in modo da portare alla decina successiva il minuendo ed il sottraendo (nel 1° caso dovremo aggiungere 4, nel 2° caso dovremo aggiungere 3)

Ora applichiamo la proprietà invariantiva in modo da portare alla decina precedente prima il minuendo (togliendo 6) e poi il sottraendo (togliendo 7)

Naturalmente qui abbiamo fatto un esempio per far vedere agli alunni la strategia di semplificazione alle decine, ma facciamo notare che si sarebbe potuto operare anche così:



Proponiamo un esercizio da svolgere in modo individuale o a coppie, facendo in modo che sia già presente l’indicazione di quanto aggiungere o togliere.

Svolgiamo poi un altro esercizio, lasciando agli alunni la libertà di scegliere la strategia da usare nell'applicazione della proprietà invariantiva.

Una lezione per Lim sulla proprietà invariantiva
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Problemi senza domanda - classe terza

Il 1° caso che affrontiamo insieme riguarda un problema da completare con una domanda obbligata.

Attraversando il bosco Bruno e Bassotto contano 95 alberi. 67 di questi sono alberi che perdono le foglie.
E’ un problema questo?
Perché non lo è? Certo, perché manca la domanda.
Quale sarà la domanda possibile per questo problema?
Inseriamo la domanda e risolviamo in modo veloce.

Il 2° caso concerne invece un problema da completare con più domande possibili.

Bruno e Bassotto nel boschetto trovano una famiglia di 12 ghiri ed un’altra famiglia di 8 scoiattoli.
Anche in questo problema manca la domanda. Proviamo a metterla noi. Sentiamo le proposte dei bambini, sperando che riescano ad esprimere almeno due di queste domande:
• Quanti sono gli animali delle due famiglie?
• Quanti sono in più i ghiri?
• Quanti sono in meno gli scoiattoli?
• Qual è la differenza tra ghiri e scoiattoli?

Il 3° caso riguarda un problema con diverse possibili soluzioni.
Bruno e Bassotto incontrano nel bosco un pastore con una pecora, una capra ed un agnello. Essi devono attraversare un ponte sospeso per raggiungere l’altra vallata. Il ponte però può reggere un peso fino a 150 Kg.
Il pastore pesa 84 kg, la pecora pesa 32 kg, la capra pesa 50 kg e l’agnello pesa 16 kg.
Riusciranno a passare tutti insieme sul ponte? Perché?
Individua almeno due soluzioni possibili.

Propongo una scheda da risolvere con lavoro individuale o a piccoli gruppi. Fai clic qui per stamparla.

Vedi U. A. di riferimento