martedì 10 giugno 2014

Volumi e misure di volume - classe quinta

Tutto ciò che ci circonda occupa uno spazio in altezza, larghezza e lunghezza, cioè ha un volume. Che cos’é un volume? E’ la misura dello spazio occupato da un corpo. Come si fa a misurarlo?
Sappiamo già misurare lunghezze, pesi, capacità, superfici. Adesso impareremo a misurare i volumi.
Ricordiamo che misurare un volume significa vedere quante volte un volume campione è contenuto nel volume da misurare. Prendiamo una scatola vuota, per misurarla che cosa potremmo usare? Utilizziamo diversi solidi geometrici. Sarà una figura che occupa uno …….. Sarà una figura di forma …….? Giungiamo alla conclusione che la forma più idonea a riempire uno spazio è il cubo. Si tratterà quindi di un cubo convenzionale, uguale per tutti, con gli spigoli lunghi un metro.
L’unità di misura è dunque il metro cubo: costruiamolo in classe, se ne abbiamo la possibilità.
Il metro cubo si indica anche con m3 perché la misura di un volume ha 3 dimensioni.

Presentiamo poi il dm3. Si tratta di un cubo con il lato di un decimetro: notiamo che in un m3 ci sono 1000 dm3. Per calcolare il volume della tua aula, quale unità di misura useresti? Pensi che sia meglio usare il m3 oppure il dm3?

Presentiamo quindi il cm3, un cubo con il lato di un centimetro e notiamo che in un dm3 ci sono 1000 cm3, mentre in un m3 ci sono 1 000 000 cm3. Quale unità useresti per misurare il volume del libro?

Quindi ogni misura di volume è 1000 volte maggiore della misura immediatamente più piccola e 1000 volte minore della misura immediatamente più grande.
Rivediamo le unità di misura, i multipli ed i sottomultipli sintetizzando nelle seguenti tabelle:
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
1000000000 m3
1000000 m3
1000 m3
1
1/1000 m3
1/1000000 m3
1/1000000000 m3

Siccome occorrono 1000 unità per effettuare un cambio e passare da una misura all’altra, bisogna che ci sia lo spazio sia per le h, per le  da e per le u
km3
hm3
dam3
m3
dm3
cm3
mm3
1000000000m3
1000000m3
1000m3
1
1/1000 m3
1/1000000 m3
1/1000000000 m3
h
da
u
h
da
u
h
da
u
h
da
u
h
da
u
h
da
u
h
da
u




lunedì 9 giugno 2014

Poliedri e non poliedri - classe quinta

Nella realtà ciascun corpo oltre ad essere lungo e largo ha sempre un certo spessore ed occupa una parte di spazio chiamata volume.
Presentiamo agli alunni alcuni solidi: questi corpi si chiamano solidi geometrici. I solidi sono corpi geometrici che occupano uno spazio.
Hanno tre dimensioni: lunghezza, altezza e profondità (o larghezza o spessore).
Mettiamo da una parte quelli la cui superficie è costituita da poligoni (sono i poliedri) e quelli che sono limitati, in tutto o in parte da superfici curve ( sono i non poliedri o corpi rotondi).


Consideriamo un poliedro. I poligoni che limitano i poliedri si dicono facce,le facce su cui poggiano i poliedri si dicono basi. I segmenti che dividono una faccia dall’altra si chiamano spigoli, il punto d’incontro degli spigoli si dice vertice.


Sintetizziamo:


Propongo ora una scheda: fai clic per stamparla.





Sviluppare un solido geometrico significa immaginare tutte le sue facce distese su di un piano.


Prendiamo una scatola a forma di cubo, coloriamo le due basi, ritagliamo lungo uno spigolo e sviluppiamo il solido in piano.

Vediamo che la superficie laterale è formata dall’insieme delle sue facce laterali, 4 facce congruenti; la superficie totale è formata dall’insieme della superficie laterale e delle basi, 6 facce sempre congruenti.Quindi:





  
Eseguiamo insieme qualche esercizio.

Consideriamo anche lo sviluppo in piano di un parallelepipedo rettangolo.


Vediamo che la superficie laterale del parallelepipedo corrisponde ad un rettangolo, la cui base è il perimetro di base del solido e la cui altezza è l'altezza del solido. Da ciò possiamo far derivare che
Risolviamo insieme:
"Calcola l'area totale in decimetri quadrati di una scatola a forma di parallelepipedo con gli spigoli di 12,25 cm, 8 cm e 3 cm."  
Risolviamo in coppia:
"Calcola l'area della superficie totale di un parallelepipedo le cui dimensioni sono: 12 cm (larghezza), 18 cm (altezza) e 9 cm (lunghezza).

Una lezione per Lim Smart su poliedri, non poliedri, area laterale e totale

Una verifica scritta da stampare

Vedi U. A. di riferimento

mercoledì 4 giugno 2014

L'area del cerchio - classe quinta

Vedremo in questo post di riuscire a spiegare agli alunni entrambi i modi per calcolare l'area del cerchio. L'intera attività qui descritta può essere svolta facendo utilizzare agli alunni questa scheda, in cui sono illustrati entrambi i modi.


1° modo

La misura del lato di un poligono regolare inscritto in un cerchio diminuisce man mano che aumenta il numero dei lati, mentre l'apotema si avvicina sempre di più alla lunghezza dei raggi.

Quando i lati del poligono regolare inscritto diventano moltissimi, il suo perimetro tende ad identificarsi con la circonferenza, l'apote­ma con il raggio, l'area del poligono con quella del cerchio.
Per trovare l'area del cerchio puoi utilizzare dunque la regola usata per i poligoni regolari.
 2° modo
Per svolgere questa attività puoi trovare i cerchi su questa scheda oppure puoi disegnarli.
Disegna un cerchio e traccia i lati del quadrato in cui è disegnato il cerchio. Piega due volte il quadrato, sovrapponendo i lati opposti: osserva che il quadrato grande è ora diviso in 4 quadrati con il lato congruente al raggio del cerchio. L’area del cerchio è minore di quella del quadrato grande quindi è minore dei 4 quadrati.
Ritaglia ora la parte esterna al cerchio di 3 quadrati e vedi che se mettessi le parti ritagliate nel quarto settore del cerchio, esse non lo coprirebbero interamente. Possiamo quindi dire che l’area del cerchio corri­sponde alla superficie di 3 quadrati aventi il lato uguale al raggio del cerchio, più 14 centesimi della super­ficie di un altro quadrato anch'esso con il lato uguale al raggio.

L'area di un cerchio pertanto si può calcolare moltiplicando l'area di un quadrato con il lato uguale al suo raggio per 3,14.Quindi:

Sintetizziamo la procedura da seguire nei diversi casi che possono presentarsi: come calcolare l'area di un cerchio se si conosce la circonferenza o il raggio oppure ancora il diametro.


Potrebbe essere utile, per rivedere le conoscenze apprese, l'uso di una mia presentazione in PowerPoint.

Propongo anche una scheda, utile per far esercitare gli alunni: fai clic per stamparla.

Iniziamo a proporre alcuni problemi, inizialmente con soluzione collettiva. Ad esempio:






Ecco un'altra scheda che si può proporre con lavoro di gruppo: fai clic per stamparla.



Sempre con lavoro di gruppo o a coppie si può proporre la soluzione di problemi come questo:
"In una piazza a forma circolare con il raggio di 70 m è stata costruita un'aiuola anch'essa circolare con il diametro di 6,5 m. Quanto misura la superficie libera?"




                                                   


L'area dei poligoni regolari - classe quinta

Studiando in geografia la Puglia, nell'ambito delle regioni dell'Italia Meridionale, ci siamo imbattuti nel curioso Castel del Monte, universalmente noto per la sua pianta ottagonale.


Partiamo proprio dalla pianta del castello per rivedere, prima di procedere oltre, il concetto di poligono regolare.
I poligoni regolari sono poligoni con lati ed angoli congruenti. Sono: triangolo equilatero, quadrato, pentagono regolare, esagono regolare, ettagono regolare, ottagono regolare, ecc. 
Consegniamo agli alunni due esagoni congruenti e quindi equivalenti: possiamo ricavarli da questa scheda.
Facciamo ritagliare ed incollare sul quaderno il primo esagono, poi facciamo ritagliare il secondo esagono, scomponendolo nei triangoli che lo costituiscono e facciamo incollare anche questi sul quaderno. Notiamo che l'esagono si può scomporre in 6 triangoli congruenti.

Proviamo anche con un altro poligono regolare, ad esempio il quadrato fino a scoprire che ogni poligono regolare è scomponibile in tanti triangoli uguali quanti sono i suoi lati. L’altezza di ciascuno dei triangoli uguali è detta apotema.

Disegniamo sul quaderno due quadrati con i lati rispettivamente di 5 e di 4 cm. Scomponiamo i quadrati in quattro triangoli congruenti e tracciamo l'apotema. Misuriamo l'apotema tracciata: nel primo caso la lunghezza è 2,5 cm, nel secondo quadrato l'apotema misura 2 cm.




Notiamo che in ogni quadrato l'apotema misura sempre la metà del lato.

Dividiamo ora la misura dell'apotema per la misura del lato.


Proviamo con un altro poligono regolare, ad esempio con il triangolo equilatero.


Possiamo dire che in ogni poligono regolare il rapporto tra apotema e lato è costante e si chiama numero fisso.
Ogni poligono regolare ha quindi un numero fisso, cioè un rapporto fisso tra la misura dell'apotema e quella del lato.
Ecco una tabella dei numeri fissi di alcuni poligoni regolari:

Triangolo equilatero
0,288
Quadrato
0,5
Pentagono regolare
0,688
Esagono regolare
0,866
Ettagono regolare
1,038
Ottagono regolare
1,207





















Facciamo completare una prima tabella, in cui dato il lato gli alunni debbano calcolare la misura del perimetro.

FIGURA
LATO
PERIMETRO
Pentagono regolare
13,5 cm
……………………………………

Esagono regolare
4,4 cm
……………………………………

Ottagono regolare
8,9 cm
……………………………………



Proseguiamo con una seconda tabella, in cui occorre calcolare la misura del lato o del perimetro.


Presentiamo ancora un'altra tabella in cui occorra calcolare il lato o l'apotema.



Se gli alunni hanno compreso il lavoro fin qui svolto, possiamo procedere alla scoperta del modo di calcolare l'area dei poligoni regolari.
Distribuiamo ad ogni alunno una coppia di esagoni regolari congruenti e dunque equivalenti (fai clic per stamparli)Ritagliamo il primo esagono ed incolliamolo sul quaderno.

Notiamo che non è semplice stabilire quanti cm2 misura la sua superficie. Possiamo, però, operando sul secondo esagono fare questa trasformazione.


Si ottiene un romboide con la superficie doppia dell’esagono. Quindi se troviamo l’area del romboide troviamo la doppia area dell’esagono. La base del romboide corrisponde alla somma dei lati dell'esagono (il perimetro) e l’altezza è uguale all’apotema. Quindi:


Realizziamo un algoritmo per il calcolo dell’area.

Suggerisco una mia presentazione in PowerPoint: fai clic per scaricarla.
Proponiamo una tabella da completare, eseguendo i relativi calcoli sul quaderno.


POLIGONO
LATO
APOTEMA
PERIMETRO
AREA

Triangolo equilatero

8 m
…………………
…………………
…………………

Quadrato

10 dm
…………………
…………………
…………………

Pentagono regolare

55 cm
…………………
…………………
…………………

Esagono regolare

7,4 m
…………………
…………………
…………………

Ottagono regolare

100 m
…………………
…………………
…………………

















Iniziamo anche a dedicarci alla risoluzione di problemi, procedendo prima collettivamente. Esempio:
"La pianta del castello ottagonale di Castel del Monte, in Puglia, misura 16,30 m per ciascun lato. Al centro vi è un cortile sempre ottagonale con il lato di 7 m. Qual è l'area della parte coperta del castello?"
Procediamo poi con altri problemi a risoluzione individuale o di coppia. Esempi:
"Calcola la misura del lato di un pentagono regolare che ha l'apotema di 18,576 m"
"Calcola la misura del lato di un esagono regolare con l'apotema di 9,526 m"
"Un monumento ha la base esagonale con il lato di 2,5 m. Calcola l'area occupata dalla base".