lunedì 27 febbraio 2017

I vari tipi di angolo - classe terza

Matematica per gli insegnanti

Come già abbiamo visto, gli angoli sono una parte del piano compresa tra due semirette aventi la medesima origine. Date due semirette con la stessa origine, si determinano sempre due angoli.

La misura dell'ampiezza degli angoli utilizza un sistema sessagesimale che ha come unità di misura il grado. Un angolo è suddiviso in 360 parti uguali ( 360 gradi o 360°).
L'ampiezza è la dimensione che si utilizza per la classificazione dell'angolo in retto, piatto, giro, nullo, acuto, ottuso, convesso, concavo.
Cito dal sito http://www.okpedia.it
Angolo retto.
L'angolo retto misura 90° e i lati sono ortogonali.

Angolo piatto
L'angolo piatto misura 180° e si trasforma in un semipiano. I lati sono opposti.

Angolo giro
L'angolo giro misura 360°. In questo caso i due lati coincidono (a=b) ed esiste un unico angolo che ha solo punti interni ed è coincidente con il piano intero.

Angolo nullo
L'angolo nullo misura zero gradi. I due lati coincidono (a=b) ma l'angolo non ha punti interni.

Angolo acuto
L'angolo acuto è un angolo con i gradi compresi tra 0° e 90°.

Angolo ottuso
L'angolo ottuso è un angolo con i gradi compresi tra 90° e 180°.

Angolo convesso
L'angolo convesso è un angolo con i gradi compresi tra 0 e 180°. L'ampiezza di un angolo convesso è sempre inferiore a un angolo piatto.

Angolo concavo
L'angolo concavo è un angolo con i gradi compresi tra 180° e 360°. L'ampiezza di un angolo concavo è sempre superiore a un angolo piatto.


Matematica per gli alunni



COMPETENZE
ABILITA’ 
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo.
Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determina misure, progetta e costruisce modelli concreti di vario tipo.
Utilizza strumenti per il disegno geometrico (riga, compasso, squadra) e i più comuni strumenti di misura (metro, goniometro...).
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

individuare gli angoli in figure e contesti diversi; denominare gli angoli in base all’ampiezza.



Costruiamo e rappresentiamo un angolo. Con due semirette aventi la stessa origine in realtà abbiamo diviso il piano in due parti. Spieghiamo agli alunni che gli angoli si possono indicare in modi diversi: noi per ora scegliamo di usare le lettere dell’alfabeto greco, quindi abbiamo due angoli: l’angolo a (alfa) e l’angolo b (beta). Bass8 si trova nell’angolo a mentre Br1 si trova nell’angolo b.






Quale dei due angoli contiene il prolungamento dei lati? L’angolo che contiene il prolungamento dei lati si dice concavo, l’angolo che non li contiene si dice convesso.



Proponiamo un esercizio come il seguente.



Utilizzando i bastoncini ad incastro che abbiamo in classe e distribuendone una coppia ad ogni alunno, proviamo ad effettuare delle rotazioni. Lo stesso tipo di attività si può fare con ventagli, anche costruiti dai bambini, con specchi, con le lancette dell’orologio analogico.

La rotazione di un quarto di giro corrisponde ad un angolo retto, compreso tra 2 semirette perpendicolari.
Effettuiamo ora rotazioni minori dell’angolo retto formando così angoli acuti, rotazioni maggiori dell’angolo retto formando angoli ottusi, rotazioni di mezzo giro formando l’angolo piatto e rotazioni formando l’angolo giro.



Ecco una scheda per aiutare a consolidare la capacità di classificazione degli angoli, unita a conoscenze sul reticolo e sulla lettura dell'orologio. Fai clic qui per stampare la scheda.


Possiamo ora provare a far disegnare alcuni angoli agli alunni, in modo da verificare se hanno assimilato il concetto di angolo e se sanno usare l'angolo campione per costruire e confrontare ampiezze angolari.



Consiglio l'effettuazione di questa attività on line, dal sito Baby Flash: fai clic sull'immagine.




Una verifica scritta da stampare

Un test sui contenuti dell'unità n° 4: rette ed angoli

Una lezione per Lim

Ulteriori risorse dal Web 

giovedì 16 febbraio 2017

Rette parallele, incidenti, perpendicolari - classe terza

Matematica per gli insegnanti

Vediamo quali possono essere le posizioni reciproche di due rette.




La retta e la retta appartengono al piano α (s, t ∈  α). Infatti l’insieme dei punti della retta e l’insieme dei punti della retta t sono inclusi nel piano α
{s} {t} ⊂ {α}.
L’intersezione tra la retta s e la retta t (ciò che hanno in comune) è costituita dal punto Q.
{s} ∩ {t} = Q.
Le due rette sono quindi incidenti perché appartengono allo stesso piano ed hanno un punto in comune.



La retta appartiene al piano γ mentre la retta non appartiene al piano γ (∈ γ; d ∉ γ). Infatti l’insieme dei punti della retta è incluso nel piano γ  mentre l’insieme dei punti della retta d non è incluso nel piano γ
{c} ⊂ {γ}; {d}  ⊄ {γ}.
L’intersezione tra la retta c e la retta d (ciò che hanno in comune) è un insieme vuoto.
{c} ∩ {d} = ∅.
Le due rette sono quindi sghembe perché non appartengono allo stesso piano e non hanno alcun punto in comune.



La retta e la retta appartengono al piano β (a, b ∈  β). Infatti l’insieme dei punti della retta e l’insieme dei punti della retta b sono inclusi nel piano β.
{a} {b} ⊂ {β}.
L’intersezione tra la retta a e la retta b (ciò che hanno in comune) è un insieme vuoto.
{a} ∩ {b} = ∅.
Le due rette sono quindi parallele perché appartengono allo stesso piano e non hanno alcun punto in comune.
Il postulato delle paralleleconsiderata una retta ed un punto non appartenente alla retta, per quel punto passa una sola retta parallela a quella data.

Matematica per gli alunni


COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo.
Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determina misure, progetta e costruisce modelli concreti di vario tipo.
Utilizza strumenti per il disegno geometrico (riga, compasso, squadra) e i più comuni strumenti di misura (metro, goniometro...).
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

costruire mediante modelli, disegnare, denominare e descrivere le linee; distinguere rette, semirette e segmenti; usare il righello.



PERCORSO DIDATTICO

Oggi Br1 e Bass8 sciano insieme e stanno compiendo discese in linea retta.
Bruno incontrerà Bassotto senza cambiare direzione?

 

Osserviamo e scriviamo che due rette che mantengono sempre la stessa distanza fra loro e non si incontrano mai si dicono parallele.
Continuando a muoversi in questa direzione, Bruno incontrerà Bassotto?


 

Due rette che si incontrano in un punto formando quattro angoli, si dicono incidenti.
Guardate cosa fa ora Bassotto. Incontrerà Bruno?



Due rette incidenti che formano 4 angoli retti si dicono perpendicolari.
Proviamo ora ad usare Declic.
Dèclic è un software di geometria dinamica per l'apprendimento e l’insegnamento della geometria, dalla scuola primaria in avanti.
Presenta un foglio di lavoro, sul quale si possono disegnare gli elementi fondamentali della geometria piana (punti, rette, segmenti, ecc….), i poligoni e scoprirne le loro proprietà.
Il download gratuito del programma in italiano è disponibile sul sito francese dell'autore
Propongo una scheda di esercitazione. Fai clic per stampare la scheda.




Prendiamo la squadra, in quali occasioni gli alunni hanno visto l’utilizzo di questo strumento? Chi la usa? I falegnami, i muratori, i fabbri, i tecnici.

Osserviamo: quali sono i lati della squadra che formano un angolo retto?

Proviamo ad usare la squadra per tracciare rette parallele ad una retta a: sistemiamo uno dei lati perpendicolari della squadra sulla retta a e posizioniamo il righello sul terzo lato, facciamo scivolare la squadra sul bordo del righello nella direzione indicata dalla freccia.
 
 
Tracciamo altre rette che risulteranno parallele alla retta a.
 
Proviamo ora tracciare una retta parallela alla retta a e passante per il punto B. Operiamo come indicato in precedenza facendo scorrere la squadra fino al punto B.

E come fare per tracciare rette perpendicolari alla retta a? Sistemiamo uno dei lati perpendicolari della squadra sulla retta a e posizioniamo il righello sul terzo lato, facciamo scivolare la squadra sul bordo del righello nella direzione indicata dalla freccia e tracciamo altre rette seguendo il 2° lato perpendicolare della squadra: le rette risulteranno quindi perpendicolari alla retta a.

 
Proviamo ora tracciare una retta perpendicolare alla retta a e passante per il punto A. Operiamo come indicato in precedenza facendo scorrere la squadra fino al punto A.

Non sono esercizi semplici per alunni di classe terza, ma non rinuncerei all'opportunità di iniziare ad utilizzare in modo corretto gli strumenti per il disegno geometrico. I primi lavori non saranno certo un modello di correttezza, ma i risultati si vedranno con il passare del tempo.
Ecco, per esercitarsi, una scheda in cui gli alunni non hanno l'aiuto dei quadretti. Fai clic per stampare la scheda.


Un video simpaticissimo di Elena Di Benedetto.



Un test sui contenuti dell'unità n° 4: le linee




venerdì 10 febbraio 2017

Confronto di angoli - classe terza

Matematica per gli insegnanti

L’ampiezza di un angolo è la parte del piano compresa tra le due semirette; è una grandezza misurabile utilizzando il grado ed i suoi sottomultipli.

Per confrontare due angoli ABC e MNO,

facciamo coincidere i vertici B ed N


con una rotazione portiamo a coincidere la semiretta AB con la semiretta MN. 












A questo punto si possono avere tre situazioni distinte:
Il lato NO cade internamente all’angolo ABC , diciamo che ABC > MNO;
Il lato NO cade esattamente su BC , i due angoli sono congruenti;
Il lato NO cade esternamente all’angolo ABC , diciamo che ABC < MNO.




Matematica per gli insegnanti



COMPETENZE
ABILITA’ 
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo.
Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determina misure, progetta e costruisce modelli concreti di vario tipo.
Utilizza strumenti per il disegno geometrico (riga, compasso, squadra) e i più comuni strumenti di misura (metro, goniometro...).
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

individuare gli angoli in figure e contesti diversi; denominare gli angoli in base all’ampiezza.



PERCORSO DIDATTICO

Per far capire agli alunni che l’ampiezza di un angolo non dipende dalla lunghezza delle semirette ma dalla loro apertura (rotazione), ho ritenuto opportuno lo svolgimento di questa esperienza.
Utilizzando dei listelli colorati ad incastro che possediamo in classe (ma l'esperienza si può effettuare anche con altro materiale) abbiamo formato un angolo includendo alcuni oggetti all'interno della regione angolare considerata ed escludendone altri.


Hello Kitty è all'interno della regione angolare che consideriamo, evidenziatori e pastelli sono nell'altra regione.
Successivamente allunghiamo i lati senza variarne l’apertura e chiediamo: “Ora l’angolo è più grande?”. Può darsi che alcuni o molti bambini dicano di sì. In tal caso chiediamo se gli oggetti che prima non erano inclusi ora lo siano. Risulterà evidente che nulla è cambiato nell’ampiezza dell’angolo.


Dimostriamolo ulteriormente ritornando alla dimensione iniziale dei lati, ma aumentando la rotazione: ci sono oggetti che prima erano esclusi dalla regione angolare e che ora invece sono inclusi?



Sì, ora la regione angolare comprende anche l'evidenziatore azzurro.
Possiamo procedere aumentando la rotazione e vedremo che includeremo nella nostra regione angolare anche altri oggetti che prima ne erano esclusi.



Possiamo concludere che è aumentata l’ampiezza  dell’angolo in conseguenza di un’aumentata rotazione e non di un allungamento dei lati.
Possiamo rappresentare anche sul quaderno esperienze simili.


Procediamo successivamente alla costruzione dell’angolo retto da usare come angolo campione per confrontare l’ampiezza di altri angoli.

Procediamo iniziando a piegare un foglio con una prima piegatura a caso.
Pieghiamo poi nuovamente il foglio sovrapponendo e facendo combaciare la piegatura fatta.


Otteniamo un angolo che possiamo usare come termine di confronto con altri angoli. L’angolo ottenuto si dice angolo retto.



Proviamolo sovrapponendolo ad un angolo del banco, del libro o del quadernone.
Facciamo ben comprendere agli alunni che, per confrontare un qualsiasi angolo con l’angolo campione, è necessario far coincidere i vertici ed un lato: potremo così stabilire se un angolo è di ampiezza minore, maggiore o uguale a quella dell’angolo campione retto.
Facciamo procedere a confronti utilizzando una scheda come questa. Fai clic qui per stampare la scheda.



Ecco un video da Youtube.






giovedì 2 febbraio 2017

Il concetto di angolo - classe terza

Matematica per gli insegnanti

Immaginiamo due semirette con lo stesso punto di origine, non appartenenti alla stessa retta. Così:

Queste semirette dividono il piano in due parti, che prendono il nome di angoli.
L’angolo è dunque una delle due parti di piano determinate da due semirette con la stessa origine.
Le due semirette prendono il nome di lati, mentre il punto di origine si chiama vertice.
Gli angoli si dicono convessi se non contengono il prolungamento dei lati e concavi se, invece, li contengono.



L’angolo ha una sola dimensione: l’ampiezza (non ha spessore, né lunghezza né larghezza).
Due angoli inoltre sono:
·        Consecutivi se hanno in comune un vertice ed un lato

·        Adiacenti se sono consecutivi ed i due lati non comuni appartengono alla stessa retta

·        Opposti al vertice se i loro lati sono semirette opposte



Matematica per gli alunni


COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Riconosce e rappresenta forme del piano e dello spazio, relazioni e strutture che si trovano in natura o che sono state create dall’uomo.
Descrive, denomina e classifica figure in base a caratteristiche geometriche, ne determina misure, progetta e costruisce modelli concreti di vario tipo.
Utilizza strumenti per il disegno geometrico (riga, compasso, squadra) e i più comuni strumenti di misura (metro, goniometro...).
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

individuare gli angoli in figure e contesti diversi; denominare gli angoli in base all’ampiezza.




PERCORSO DIDATTICO

Secondo me, due sono gli approcci fondamentali al concetto di angolo: il cambiamento di direzione e la rotazione. Cominciamo dal primo aspetto.
Bruno e Bassotto stanno imparando a sciare.
Ecco una delle traiettorie descritte da Bassotto nella sua discesa. Quante volte ha cambiato direzione Bassotto? 5 volte




Disponiamo 6 bambini seduti sul pavimento, diamo una palla al bambino A che la passerà facendola rotolare al bambino B, da questi all’alunno C, al D , all’E e poi al bambino F. Quante volte la palla ha cambiato direzione? Poi rappresentiamo la situazione.


Chiariamo ai bambini che ogni cambiamento di direzione corrisponde ad un angolo.
Possiamo poi proporre una scheda come la seguente: fai clic per stamparla.


Affrontiamo ora l'angolo, considerato come rotazione.
In classe abbiamo eseguito questa esperienza: una volta consegnati due spaghi a due coppie di bambini, inizialmente li abbiamo fatti sovrapporre.


Poi, avendo cura di far coincidere e tener fermi i vertici, ho chiesto ad un bambino di ruotare con uno spago.


A questo punto, dicendo di immaginare che gli spaghi si prolunghino all'infinito, ho posizionato alcuni alunni all'interno della regione angolare ed altri fuori ed ho chiesto quali alunni fossero all'interno della regione e quali invece fossero all'esterno.


Ho attirato l'attenzione degli alunni sul fatto che in realtà abbiamo diviso il piano in due angoli, entrambi compresi fra due lati e con un vertice in comune: quindi una parte degli alunni si trovava in un angolo ed una parte in un altro angolo.
Gli spazi che si sono venuti a creare dopo la rotazione si chiamano angoli. L’angolo è la parte di piano compresa tra due semirette aventi lo stesso punto di origine. Rappresentiamo sul quaderno, introducendo anche i termini "vertice", "lato", "ampiezza":


Facciamo individuare agli alunni altri esempi di rotazione: l'apertura della porta, delle finestre, l'apertura di una pagina del libro, le lancette dell'orologio, ecc.

Un gioco on line molto interessante si trova sul sito dell'Iprase Trentino, si tratta di Frisbee: un ragazzo ruota attorno ad un cerchio e poi lancia il frisbee ad un altro ragazzo al centro del cerchio. Bisogna ruotare il ragazzo al centro nella giusta direzione utilizzando gli appositi pulsanti e poi individuare l'angolo corretto. Vi sono due livelli di difficoltà.
Inserisco un video dimostrativo.



Una verifica scritta da stampare

Un test sui contenuti dell'unità n° 4: gli angoli

Una lezione per Lim