didattica matematica scuola primaria: I significati della moltiplicazione

Iniziamo le attività della quarta U. A.: “La montagna”.

Come ormai prassi consolidata illustriamo agli alunni i traguardi di conoscenza che ci proponiamo di raggiungere ed elenchiamoli sul quaderno.
Al termine del quarto percorso "La montagna" dovrai aver imparato a:
• Conoscere gli angoli
• Conoscere il migliaio ed i numeri oltre il 1000
• Conoscere la moltiplicazione e le sue proprietà
• Memorizzare in modo sicuro le tabelline
• Eseguire moltiplicazioni in colonna con due cifre al moltiplicatore
• Risolvere problemi con due domande e due operazioni

Matematica per gli insegnanti

La moltiplicazione fra a e b è l’operazione che addiziona tanti numeri uguali ad a tante volte quante ne indica b:

a × b = a + a + · · · + a {b volte}.

Se moltiplichiamo due numeri appartenenti ad N, il prodotto sarà un altro numero ancora appartenente a N. Diciamo quindi che la moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione.

Nella presentazione della moltiplicazione dovremo aver cura di presentare il caso più frequente e semplice, quello dell'addizione ripetuta, e quello del prodotto cartesiano. Qualche parola su quest'ultimo.

Consideriamo un insieme A = {cerchio, quadrato, triangolo} ed un insieme B {giallo, rosso}. Quali sono tutte le coppie ordinate possibili dell'insieme "A x B"?

Questa operazione si legge A prodotto B e si chiama prodotto cartesiano. Ogni elemento del primo insieme (A) è associato con ciascuno degli elementi del secondo insieme (B). Gli elementi dell’insieme “A x B” non sono singoli ma coppie ordinate. In questo caso le coppie ordinate hanno come primo elemento un elemento dell’insieme A e come secondo elemento un elemento dell’insieme B.

Perciò il prodotto A x B è diverso da B x A: non vale la proprietà commutativa!

A x B = {cerchio-giallo, cerchio-rosso, quadrato-giallo, quadrato-rosso, triangolo-giallo, triangolo-rosso}

B x A = {giallo-cerchio, rosso-cerchio, giallo-quadrato, rosso-quadrato, giallo-triangolo, rosso-triangolo}

Il prodotto cartesiano deve il suo nome al filosofo e matematico francese René Descartes, italianizzato in Cartesio, vissuto nel 1600 che ebbe l'idea di un sistema di riferimento che unisce il mondo dei numeri a quello delle figure geometriche. E proprio il sistema di riferimento cartesiano è il più famoso esempio di prodotto cartesiano.

Tutti i punti del piano sono individuati da una coppia ordinata di numeri (x ∈A e y ∈ B).

Matematica per gli alunni

	COMPETENZE	ABILITA’		UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Riconosce e risolve problemi di vario genere, individuando le strategie appropriate, giustificando il procedimento seguito e utilizzando in modo consapevole i linguaggi specifici. Rileva dati significativi, li analizza, li interpreta, sviluppa ragionamenti sugli stessi utilizzando consapevolmente rappresentazioni grafiche e strumenti di calcolo.		- Al termine della classe terza l'alunno dovrà: esplorare, rappresentare e risolvere situazioni problematiche utilizzando la moltiplicazione; in un testo individuare e distinguere la richiesta e i dati; formulare il testo di un problema; in un testo, individuare la mancanza di dati per risolvere problemi; rappresentare e risolvere simbolicamente situazioni problematiche con la moltiplicazione.	Unità n° 4: La montagna

PERCORSO DIDATTICO

Bruno e Bassotto sono andati in montagna, aspettandosi di trovare i monti altissimi, brulli e spogli che si ergono nella loro Galassia ed invece hanno trovato un paesaggio fiabesco e meraviglioso, con montagne ricoperte di boschi e con rocce dai mille colori ma la cosa più incredibile è una fredda polvere bianca che non conoscevano e che ricopriva tutte le cose. C’era chi faceva delle palle con quella polvere e se le tirava, c’era chi ci scivolava sopra su strani assi di legno e c’era pure chi risaliva i fianci della montagna dentro scatole d’acciaio sospese ad un filo e penzolanti nel vuoto.

Mentre stavano osservando tutto ciò sentirono un urlo e videro arrivare a tutta velocità verso di loro un gruppo di bambini vestiti come astronauti, seguiti da un adulto che gridava, rivolto ai nostri due amici: “ Toglietevi di qua, voi due, non vedete che siete in mezzo alla pista?”. Bruno e Bassotto, impauriti, si spostarono di lato e si sedettero sulla polvere bianca a guardare quello strano gruppo che, nel frattempo, si era fermato.
Il maestro, perché di un maestro di sci si trattava, decise di organizzare una gara di sci a coppie tra i suoi allievi ma ogni coppia doveva essere costituita da un maschio e da una femmina. Gli allievi erano: Paolo, Andrea, Carlo, Elisa, Sandra, Sara. Quante coppie ha potuto formare il maestro di sci?
Vediamo di scoprirlo usando i diagrammi di Eulero – Venn

La rappresentazione è un po' confusa. Proviamo a rappresentare le coppie usando una tabella a doppia entrata.

Infine usiamo il diagramma cartesiano.

Chiediamo: quanti erano i bambini maschi? Quante le femmine? Quanti incroci? Quante le coppie possibili?
3 + 3 + 3 = 9
oppure
3 x 3 = 9
Scriviamo che la moltiplicazione serve per trovare le coppie possibili.

Dopo aver assistito alle nove discese delle coppie, Bassotto ha detto: “Deve essere divertente scivolare sulla polvere bianca! Potremmo provare anche noi. Ma come si fa a salire fin lassù?

Bruno gli ha risposto: “ Se lo vuoi fare, dobbiamo infilarci in quelle scatole penzolanti appese ad un filo.” Allora Bassotto: “No, io preferisco andare su quelle seggiole volanti”.
Fu così che cominciarono a scendere per dirigersi al punto di partenza della seggiovia, perché di questo si trattava. Si fermarono a studiarne il funzionamento. Non era proprio facile salirci e bisognava già avere ai piedi gli assi di legno.
Ogni seggiola volante portava 4 persone. Bruno e Bassotto ne vedono partire alcune.
Se su ogni sedile della seggiovia ci sono 4 persone, quante persone saranno salite su 8 sedili?
Rappresentiamo in forma grafica mettendo una crocetta per ogni persona ed usando i diagrammi di Venn e poi, più velocemente, usando uno schieramento. Rappresentiamo anche con i numeri:
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 32 oppure
4 x 8 = 32
Scriviamo che la moltiplicazione serve per trovare il totale nel caso di addizione ripetuta.