La moltiplicazione e il prodotto cartesiano (i reticoli) - classe seconda

Ancora un caso di ricerca delle possibili combinazioni: abbiamo tre bambini (Andrea, Simone e Samuele) e quattro libri da leggere (Pinocchio, Peter Pan, Pollicino e Cipì) e vogliamo scoprire tutte le possibili combinazioni. E’ problematico ripetere ogni volta i diagrammi di Eulero – Venn e la tabella a doppia entrata: proviamo solo con il reticolo.
Abbiamo tre elementi in un insieme (i tre bambini) e quattro in un altro (i quattro libri da leggere): per ogni elemento di un insieme tracciamo una linea orizzontale e per ogni elemento dell’altro insieme tracciamo una linea verticale o colonna. In questo modo:

Un'altra situazione: Marta e Livia hanno il quaderno rosso, blu e giallo. Quali quaderni potrebbero prendere?

Rappresentiamo anche questa situazione con un reticolo.

La maestra ritira il quaderno giallo. Ora la situazione è questa:

Il maestro ritira anche il quaderno blu. Quindi:


Il maestro infine prende anche il quaderno rosso. Facciamo particolare attenzione a questo caso facendo notare come non sia possibile formare incroci.



Sul sito delle verifiche una presentazione PowerPoint sulla moltiplicazione: dal prodotto cartesiano agli schieramenti ed al reticolo.

Una verifica scritta dell'U. A. da stampare

Un test sui contenuti dell'unità 7: la moltiplicazione

Altre risorse dal Web per la moltiplicazione come prodotto cartesiano.

Vedi U. A. di riferimento

La moltiplicazione come prodotto cartesiano - classe seconda

Riprendendo il lavoro svolto nel post sulle combinazioni possibili e collegandoci ad una discussione avvenuta in classe sul tipo di colazione preferita dagli alunni, proponiamo un'altra situazione:

Se abbiamo un insieme di 3 cose da mangiare (biscotto, cornetto, crostata) e 5 cose da bere (tè, cioccolata, cappuccino, latte, spremuta) quante sono le diverse possibilità per fare colazione?

Rappresentiamo con i diagrammi di Eulero - Venn mettendo in relazione con le frecce ogni elemento del primo insieme con ogni elemento del secondo insieme e chiedendo poi quanti elementi ci sono nell’insieme A e nell’insieme B.

Abbiamo già visto come da questa rappresentazione grafica si possa dedurre l'elenco delle coppie ordinate. Rimarchiamo ancora come si dica PRODOTTO CARTESIANO l'insieme delle combinazioni possibili degli elementi di un insieme con gli elementi di un altro insieme.


Sarà quindi opportuno inserire tutte le coppie possibili in una tabella a doppia entrata.

Naturalmente disegnare ogni volta una tabella a doppia entrata è problematico quindi proponiamo agli alunni una semplificazione della tabella, inserendo una crocetta (o altro simbolo) al posto di ogni coppia. otteniamo in questo modo uno schieramento, molto più semplice da rappresentare.

Un altro modo per semplificare la tabella a doppia entrata è costituito dal reticolo: sarà sufficiente tracciare tante righe orizzontali quanti sono gli elementi di un insieme e tante righe verticali (le colonne) quanti sono gli elementi del secondo insieme. Ad ogni incrocio corrisponderà una coppia.

Sul sito delle verifiche una presentazione PowerPoint sulla moltiplicazione: dal prodotto cartesiano agli schieramenti ed al reticolo.


Una verifica scritta dell'U. A. da stampare


Un test sui contenuti dell'unità 7: la moltiplicazione


Altre risorse dal Web per la moltiplicazione come prodotto cartesiano.


Vedi U. A. di riferimento

Combinazioni e prodotto cartesiano - classe seconda

Abbiamo già spiegato la moltiplicazione affrontata nel suo significato logico di addizione ripetuta.
Questa attività invece è propedeutica alle altre attività che seguiranno, volte a far comprendere agli alunni il significato della moltiplicazione intesa come prodotto combinatorio o prodotto cartesiano.
Ricordo che il prodotto cartesiano tra due insiemi A e B può essere definito come l'insieme di tutte le possibili coppie che hanno per primo elemento un elemento di A e per secondo elemento un elemento di B. Il prodotto si indica con A x B
Per esempio se A = {1, 3, 5, 7} e B = {2, 4}, allora

Naturalmente con bambini di seconda occorre un altro approccio. Ne propongo uno.
Vediamo la frase aperta: …………….. mangia …………………….Sostituiamo al primo termine un rettangolo ed al secondo un ovale. Così:

Come potremmo completare la frase? Che cosa potremmo mettere nel rettangolo? Il nome di una bambina, ad esempio Sara. Bene, e cosa potremmo mettere nell’ovale? Il nome di un alimento, ad esempio un gelato. Quindi nel rettangolo potremmo scrivere i nomi di alcuni bambini e nel cerchio il nome di alcuni cibi. Procediamo, scrivendo quindi il nome di 2 bambini (Sara e Giulia) e di 3 alimenti (gelato, pizza, pasta).
Abbiamo formato un insieme di bambini ed un insieme di cose da mangiare.

QUALI SONO TUTTE LE COPPIE POSSIBILI TRA GLI ELEMENTI DEI DUE INSIEMI?
Stabiliamo le relazioni tra i due insiemi CON LE FRECCE.

Formiamo ora L'ELENCO DELLE COPPIE ORDINATE (tutte le coppie possibili)

Proviamo quindi a registrare le coppie con la TABELLA A DOPPIA ENTRATA.

Come si fa a registrare su una tabella? Per la costruzione della tabella suggeriamo ai bambini che se gli elementi del primo insieme sono 2 la tabella dovrà avere tre righe e se gli elementi del secondo insieme sono 3 la tabella dovrà avere quattro colonne.
Dopo aver realizzato la tabella vediamo come si potrebbe semplificare ulteriormente la tabella. Ad esempio potremmo indicare ogni coppia possibile con una crocetta.

Abbiamo quindi:
2 bambini, 3 alimenti, 6 combinazioni possibili.
Ricordiamo che l’insieme di tutte le coppie possibili si chiama PRODOTTO CARTESIANO dei due insiemi.
Un altro esempio possibile: quattro blocchi, uno per ogni forma e tre colori. Quali e quante potrebbero essere le combinazioni possibili? Facciamo formulare ipotesi ai bambini, inducendoli ariflettere che ogni blocco potrà essere di tre colori. Rappresentiamo poi sul quaderno.

Una verifica scritta da stampare

Un test sui contenuti dell'U. A. 6: grafici e relazioni

Ulteriori risorse dal Web

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Classificazioni in base ad un attributo - classe seconda

La nostra biblioteca di classe ha proprio bisogno di essere riordinata. Come potremmo ordinare tutti i libri che ci sono? Lasciamo che i bambini individuino criteri possibili ed attuino le classificazioni pensate. Una possibile classificazione potrebbe essere: libri di fiabe e favole, libri di avventura, libri di fantascienza, fumetti, libri per ricerche ma naturalmente ne sono possibili molte altre.

Dedichiamoci prima a rivedere l'uso dei quantificatori.

Sediamoci quindi ora in cerchio: versiamo in mezzo il contenuto di una scatola dei blocchi logici. Bene, questa scatola contiene un insieme di …… ?
Indichiamo alcune consegne agli alunni:

· prendi un blocco verde. Non posso, nessun blocco è verde
· portami tutti i blocchi rettangolari
· portami alcuni blocchi gialli
· porta qualche blocco grande
· fammi vedere almeno 3 blocchi rotondi
· ogni blocco triangolare
· non più di quattro blocchi triangolari.

Naturalmente la stessa attività può svolgersi in altri contesti, ad esempio durante le ore di educazione motoria in palestra: tutte le bambine corrono, alcuni maschi camminano e vanno a prendere qualche palla, ogni bambino deve saltare almeno tre ostacoli e poi fare non più di due capriole e così via....

Ritornando alla nostra situazione in circolo attorno ai blocchi logici, chiediamo adesso di formare l’insieme di tutti i blocchi rossi. Come possiamo definire i blocchi che restano fuori? Sono blocchi NON rossi
Passiamo poi a formare l'insieme di tutti i blocchi quadrati. Come possiamo definire i blocchi che restano fuori? Sono blocchi NON quadrati.
E se formassimo l'insieme di tutti i blocchi sottili? Come possiamo definire i blocchi che restano fuori? Sono blocchi NON sottili.
Consideriamo l'insieme di tutti i blocchi piccoli. Come possiamo definire i blocchi che restano fuori? Sono blocchi NON piccoli.

Interessante è formulare anche questa domanda: "Se formo l’insieme di alcuni blocchi rotondi posso dire che i blocchi che restano fuori sono NON rotondi? Perché?"

Una scheda da stampare sull'uso dei quantificatori

Una verifica scritta da stampare

Un test sui contenuti dell'unità 11: le classificazioni

Una lezione per Lim su classificazioni ed intersezioni

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I corpi solidi - classe seconda

Conversando con gli alunni colleghiamoci a quanto già visto nelle attività di educazione scientifica, per cui tutto ciò che ci circonda è materia che può essere allo stato solido, liquido o gassoso. Abbiamo già visto come i corpi solidi abbiano una forma propria, si possano afferrare ed occupino sempre la stessa quantità di spazio.

Quindi la cattedra è un corpo solido, come il banco, il libro, il quaderno, la penna, la gomma, la palla, ecc. Tutti i corpi solidi si possono ricondurre alla diversa composizione di solidi di base (ad esempio la forma di una casa può essere considerata un cubo o un parallelepipedo a cui è sovrapposta ad esempio una forma piramidale). Di qui la necessità di conoscere le forme solide principali.

Se possediamo dei modelli di questi solidi siamo a posto; in caso diverso procuriamoci oggetti che abbiano le forme dei principali solidi. Presentiamo i solidi principali (cilindro, sfera, cono, cubo, piramide e parallelepipedo) e per ognuno di essi impariamo il nome e troviamo oggetti dalla forma simile. Distinguiamo i solidi che possono rotolare da quelli che non rotolano.

Io ho poi proposto le seguenti attività, tratte dal testo "Nel giardino scopro" Ed. Giunti Scuola

Possiamo poi far disegnare sul quaderno i principali solidi considerati, distinguendoli tra poliedri e solidi che rotolano ed indicandone il nome e le parti che li compongono (per i poliedri: vertici, spigoli, facce). Naturalmente in questa fase e con bambini di seconda non sarà per ora importante curare la precisione dei disegni, che potranno essere eseguiti seguendo le indicazioni dell'insegnante su una lavagna quadrettata: per ora ci importa che imparino a riconoscere e denominare le figure.

Una scheda da stampare con uno strano Pinocchio da colorare a seconda della forma dei solidi che lo compongono.

Una scheda da stampare con esercizi tratti dalle prove Invalsi


Una verifica scritta dell'U. A. da stampare

Un test sui contenuti dell'unità 9: linee, regioni e figure

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La moltiplicazione come addizione ripetuta (2) - classe seconda

Dopo aver svolte le attività descritte nel post precedente, proponiamo alcuni esercizi per rinforzare e consolidare il concetto logico di moltiplicazione come addizione ripetuta. Potrebbero servire allo scopo esercizi in cui, dato il disegno di insiemi equipotenti, gli alunni debbano scrivere un'addizione ripetuta ed una moltiplicazione. Ecco un esempio di ciò che si può fare:

Al contrario si può far svolgere un esercizio in cui, data l’addizione ripetuta e la moltiplicazione, gli alunni debbano effettuare il disegno e scrivere il risultato.

Infine proviamo a svincolarci dal disegno per far effettuare agli alunni trasformazioni di addizioni ripetute in moltiplicazioni. Potremo così accorgerci se gli alunni hanno compreso il concetto che stiamo affrontando.

Una scheda da stampare tratta dalle prove Invalsi

Una lezione per LIM sul concetto di moltiplicazione

Una presentazione Power Point, sul sito delle verifiche, per avviare al concetto di moltiplicazione partendo dal prodotto combinatorio per arrivare agli schieramenti ed agli incroci con un piccolo test di comprensione da parte degli alunni: fai clic qui.

Altre risorse dal Web per il concetto di moltiplicazione: fai clic qui.

Una verifica scritta dell'U. A. da stampare

Un test sui contenuti dell'unità 7: la moltiplicazione

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Il rapporto addizione - sottrazione - classe seconda

Per affrontare in modo chiaro e sistematico il rapporto logico tra le operazioni di addizione e sottrazione iniziamo con un'attività ludica che permetta di partire da una situazione problematica.

Noi abbiamo usato un mazzo di carte da gioco che erano presenti in classe.

Giochiamo con le carte. Giacomo ha 18 carte rosse e 9 carte blu. Quante carte ha Giacomo?

18 + 9 = 27

Giacomo ha 27 carte; 9 sono blu. Quante sono le carte rosse?
27 – 9 = 18

Possiamo quindi far comprendere facilmente agli alunni che addizione e sottrazione sono operazioni inverse.

Vediamo un altro esempio:


Mele: …….
Banane: ……..
Quanti frutti in tutto? ……..
Operazione: …………….



Totale frutti: ……….
Banane: ……………
Quante mele? ……….
Operazione: …………….


Possiamo usare questa "scoperta" anche per facilitare il calcolo. Proponiamo alcuni esempi da svolgere insieme, per affrontare successivamente il lavoro individuale:


Ecco una parte del lavoro svolto in classe

Una verifica scritta dell'U. A. da stampare

Un test sui contenuti dell'unità 5: la sottrazione

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La moltiplicazione come addizione ripetuta - classe seconda

Come per tutte le altre operazioni, il percorso prevede di iniziare da situazioni problematiche che si possano risolvere con l’aiuto della rappresentazione grafica per poi passare alla rappresentazione simbolica. I casi logici della moltiplicazione si possono ridurre a due: le situazioni di addizioni ripetute e le situazioni di prodotto combinatorio. A mio avviso è indifferente iniziare con l’uno o con l’altro. Nella descrizione di questa fase di lavoro inizio con una situazione di addizione ripetuta. Personalmente non sono favorevole ad iniziare dagli schieramenti, preferisco partire con una situazione problematica realistica e tangibile, che faccio rappresentare con gli insiemi equipotenti e poi solo da questo passiamo agli schieramenti.

Propongo ad esempio la seguente situazione problematica: “Ci sono 5 auto nel garage della scuola. Quante ruote posso vedere?”. Lasciamo che gli alunni provino a rispondere e facciamo disegnare sul quaderno utilizzando gli insiemi equipotenti. Scriviamo quindi l’addizione ripetuta corrispondente all’unione di insiemi equipotenti.

Potremmo però rappresentare la stessa situazione in un altro modo, schierando su righe le ruote di ogni macchina. Chiariamo che disporre su righe vuol dire disporre orizzontalmente rispetto a chi guarda.

La stessa situazione potrebbe essere rappresentata in un altro modo, schierando su colonne le ruote di ogni macchina. Chiariamo che disporre su colonne vuol dire disporre verticalmente rispetto a chi guarda. Dopo aver rappresentato anche questo secondo schieramento scriviamo l'addizione: 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20, facciamo notare come si tratti di un'addizione in cui viene ripetuto lo stesso addendo e come questa operazione possa essere sostituita da un'altra.

Ecco il lavoro svolto sul quaderno:

Ripetiamo lo stesso procedimento facendo portare a 3 bambini 5 matite ciascuno alla cattedra. Rappresentiamo con insiemi e addizione ripetuta, con uno schieramento accompagnato da un’addizione ripetuta e da una moltiplicazione.
Concludiamo che la moltiplicazione serve per trovare il totale in caso di addizione ripetuta.

Una lezione per LIM sul concetto di moltiplicazione

Una presentazione Power Point, sul sito delle verifiche, per avviare al concetto di moltiplicazione partendo dal prodotto combinatorio per arrivare agli schieramenti ed agli incroci con un piccolo test di comprensione da parte degli alunni: fai clic qui.

Altre risorse dal Web per il concetto di moltiplicazione: fai clic qui.

Una verifica scritta dell'U. A. da stampare

Un test sui contenuti dell'unità 7: la moltiplicazione

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Indagine e grafico (2) - classe seconda

Nell'indagine condotta e descritta nel post precedente sui frutti preferiti dagli alunni abbiamo visto quali sono le principali fasi da rispettare in un'indagine statistica ed abbiamo realizzato un ideogramma.

Trasferiamo ora i dati raccolti su un altro tipo di grafico, l'istogramma o grafico a barre.

Evidenziamo come sia necessario stabilire un punto di partenza che sarà l'origine del nostro grafico e che chiameremo "zero". Dall'origine partono due semirette orientate che costituiscono orizzontalmente l'asse delle ascisse (o x) e verticalmente l'asse delle ordinate (o Y) ma noi per ora chiamiamole "linee orizzontale e verticale" con gli alunni. Importante è far osservare che la linea verticale deve essere suddivisa in uguali intervalli (che devono essere specificati nella legenda) e che quindi ci devono essere almeno tante unità quanto è il valore massimo raccolto nell'indagine. In parole povere stabiliamo sulla linea verticale la suddivisione in un quadratino (ad ognuno dei quali corrisponderà un valore numerico) ed i quadratini dovranno essere almeno 16 che è il valore massimo ottenuto nella nostra piccola inchiesta.

Concludiamo poi con alcune domande per controllare le capacità di decodificare il grafico costruito insieme.

Dopo la fase della costruzione di un grafico è opportuno concentrare l'attenzione sulla fase della decodificazione dei grafici. All'uopo ho proposto una scheda con domande di comprensione relativamente ad un grafico semplice, in cui l'unità di misura vale una unità. Ecco un esempio della scheda su cui hanno lavorato gli alunni.

Successivamente ho proposto un altro lavoro su cui richiamo in modo particolare l'attenzione, perché si tratta di un esercizio simile ad uno di quelli che hanno riportato più errori nella prova Invalsi dello scorso anno.

Un grafico rappresenta il numero di bottiglie d'acqua consumate alla mensa scolastica in tre giorni scolastici, mentre la legenda spiega che l'unità di misura adottata vale 10 bottiglie. Gli alunni devono capire quante bottiglie d'acqua sono state consumate nei tre giorni di scuola. La difficoltà consiste proprio nel fatto che l'unità di misura non corrisponde ad una unità. Ecco un esempio del lavoro.

E' possibile stampare le due schede sui gelati e sulle bottiglie d'acqua facendo clic qui.

Nella mia classe su 25 alunni presenti in classe, nonostante il lavoro svolto, sei o sette hanno risposto "9" contando evidentemente ogni quadratino come "1" e non come "10". Ci sono stati anche quattro alunni che hanno risposto "30" spiegando poi o che hanno considerato solo il lunedì o che hanno considerato i quadrati bianchi invece di quelli rossi: in ogni caso non hanno ancora capito l'importanza e l'attenzione con cui devono osservare la legenda oppure non hanno letto bene la domanda posta. E' consigliabile quindi periodicamente far svolgere qualcuna delle numerose schede che si trovano sui testi o sui quaderni operativi.

Una lezione per Lim sui grafici

Un test sui contenuti dell'unità 6: grafici e relazioni

Una verifica scritta da stampare

Vedi U. A. di riferimento

Indagine e grafico - classe seconda

Utilizziamo la distribuzione della frutta che avviene a scuola per avviare un’indagine tra i bambini al fine di conoscere qual è il loro frutto preferito tra arancia, mela, pera, pesca od altro.
Per queste prime esperienze di indagine statistica ritengo opportuno delimitare il campo delle scelte possibili per evitare un'eccessiva dispersione delle risposte.

Stabiliamo il campione da intervistare (ad esempio gli alunni delle due classi seconde) e procediamo alla raccolta dei dati mediante la somministrazione di un piccolo questionario. Se vuoi stamparlo fai clic qui.

Procediamo alla tabulazione delle risposte utilizzando una tabella a doppia entrata.

Chiediamo agli alunni che cosa rappresentano le crocette. Se le crocette rappresentano le scelte di un bambino potremmo provare ora a costruire un grafico sostituendo alle crocette nella tabella il viso di un bambino, uno smile.

Avremmo anche potuto realizzare l'ideogramma in questo modo, ma la sua esecuzione avrebbe richiesto più tempo, quindi la scelta dei bambini è ricaduta sul tipo precedente.

Il prossimo passo sarà la costruzione di un altro tipo di grafico, l'istogramma.

Una lezione per Lim sui grafici

Un test sui contenuti dell'unità 6: grafici e relazioni

Una verifica scritta da stampare

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