sabato 16 marzo 2019

Dalle frazioni decimali ai numeri decimali: d, c, m - classe terza

Matematica per gli insegnanti

Vediamo quali sono le situazioni che possiamo incontrare calcolando il valore di una frazione, cioè il quoziente tra il numeratore ed il denominatore.
Vediamo il caso in cui la frazione è apparente.
14/7 = 2                      40/5 = 8
Se la frazione è apparente si trasformerà in un numero intero.

Consideriamo ora le frazioni decimali.
32/100 = 0,32             53/10 = 5,3                 165/1000 = 0,165
Se la frazione è decimale si trasforma in un numero decimale limitato, perché ha un numero di cifre decimali limitato.

Consideriamo ora frazioni non decimali, cioè frazioni ordinarie con denominatore diverso da 10 o da una potenza di 10

3/8 = 0,375                      7/20 = 0,35                             135/50 = 2,7

4/11 = 0,36363636…….     8/15 = 0,533333333…..         6/13 = 0,4615384…….

Possiamo osservare come il primo gruppo di frazioni ordinarie si trasformi in numeri decimali limitati mentre il secondo gruppo dà origine a numeri decimali illimitati perché la divisione tra numeratore e denominatore, anche se proseguita, non avrà mai resto zero, quindi il numero delle cifre decimali del quoziente è illimitato. 
Come possiamo sapere se una frazione ordinaria darà origine ad un numero decimale limitato o illimitato? E’ semplice, basta scomporre in numeri primi il suo denominatore.
Facciamolo per il primo gruppo di frazioni:
8 =  23                 20 = 22 x 5                  50 = 2 x 52
Scomponiamo ora il denominatore del secondo gruppo di frazioni:
11 = 11           15 = 3 x 5                   13 = 13
Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale limitato solo nei casi in cui la scomposizione in fattori primi del denominatore contenga esclusivamente il fattore 2, il fattore 5 o entrambi i fattori.

Bene, centriamo ora la nostra attenzione sui numeri decimali illimitati.
Consideriamo queste frazioni e calcoliamone il valore: 5/9, 10/3, 3/11, 2/27, 5/12, 11/45, 11/12
5/9 = 0,55555……
10/3 = 3,333333…..
3/11 = 0,27272727……
2/27 = 0,074074074……
5/12 = 0,41666666….
11/45 = 0,24444444….
11/12 = 0,91666666….

Vediamo che tutte queste frazioni si trasformano in numeri decimali illimitati. Consideriamo le prime quattro frazioni.
Possiamo vedere come, subito dopo la virgola, una cifra o un gruppo di cifre si ripete all’infinito: la cifra o il gruppo di cifre che si ripete si chiama periodo ed i numeri sono detti numeri decimali illimitati periodici semplici. Per indicare il periodo si mette una lineetta sopra la cifra o il gruppo di cifre che si ripete.

Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico semplice se nella scomposizione in fattori primi del denominatore non è presente né il fattore 2 né il fattore 5.
Consideriamo ora le altre tre frazioni.
Vediamo come, in questi casi, il periodo non inizi subito dopo la virgola in quanto tra la virgola ed il periodo è presente una cifra o un gruppo di cifre. Questi numeri sono detti numeri decimali illimitati periodici misti.
La cifra o il gruppo di cifre tra la virgola ed il periodo si chiama antiperiodo e si scrive in questo modo
Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico misto se nella scomposizione in fattori primi del denominatore è presente il fattore 2 o  il fattore 5 o entrambi oltre ad altri fattori primi.


Possiamo quindi rappresentare così l’insieme Q+


Possiamo sintetizzare così ciò che si ottiene nelle varie possibilità di trasformazione di una frazione in numero:
La frazione è apparente
Numero naturale
La frazione è ordinaria

Il denominatore contiene solo i fattori 2, 5 o entrambi
Numero decimale limitato
Il denominatore non contiene i fattori 2 e 5
Numero decimale periodico semplice
Il denominatore contiene i fattori 2, 5 o entrambi insieme ad altri fattori
Numero decimale periodico misto


Matematica per gli alunni

COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Riconosce e utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici (numeri decimali, frazioni). Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, attraverso esperienze significative, che gli hanno fatto intuire come gli strumenti matematici che ha imparato ad utilizzare siano utili per operare nella realtà.
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

individuare l'unità frazionaria in un intero ed in una quantità; trovare la frazione corrispondente ad un intero e a una quantità data; data una frazione individuare la parte corrispondente; leggere, scrivere, confrontare numeri decimali, rappresentarli sulla retta ed eseguire semplici addizioni e sottrazioni, anche con riferimento alle monete o ai risultati di semplici misure.



PERCORSO DIDATTICO

Iniziamo l'attività considerando le frazioni decimali. Possiamo prendere avvio dall'esecuzione di una scheda che ci darà successivamente modo di considerare le frazioni scritte durante l'esercizio.
Fai clic per stampare la scheda.


Spieghiamo che le frazioni che al denominatore hanno 10, 100 e 1000 sono dette frazioni decimali.

1/10 = 1 : 10 l’intero è stato diviso in 10 parti
1/100 = 1 : 100 l’intero è stato diviso in 100 parti
1/1000 = 1 : 1000 l’intero è stato diviso in 1000 parti
Una volta che gli alunni sanno quali sono le frazioni decimali, possiamo procedere alla seconda fase dell'attività. Premetto alla descrizione di questo segmento di lavoro che tutte le immagini successivamente utilizzate si possono stampare facendo clic su questo link.

Br1 e Bass8 ci hanno mandato un loro disegno della città che stanno visitando attualmente. Eccolo:



Lo vogliamo colorare? Lasciamo che gli alunni colorino il disegno e lo incollino sul quadernone. Al termine evidenziamo come gli alunni abbiano colorato 1 disegno intero, quindi possiamo scrivere sotto che si tratta di 1 disegno.

Br1 e Bass8 però oggi ci vogliono aiutare ad imparare una cosa nuova e quindi non si sono mica accontentati di mandarci il disegno che abbiamo appena colorato, ce ne hanno inviato anche degli altri. Ecco, guardate questo disegno. Si tratta di un semplice puzzle.
Consegniamolo agli alunni, chiediamo cosa c’è di diverso rispetto al primo disegno. Si evidenzierà come il disegno sia diviso in 10 parti uguali. Facciamo ritagliare le varie parti, mescoliamole e poi proviamo a ricostruire con precisione il disegno originale e ad  incollarlo sul quadernone. Stavolta coloriamo non tutto il disegno, ma una sola parte.


Noi sappiamo già come indicare questa parte e quindi lo scriveremo sotto al disegno :
con le lettere un decimo
con una frazione decimale 1/10
A questo punto invitiamo gli alunni a riflettere. Si tratta di una frazione molto importante, noi infatti contiamo in base 10. Noi scriviamo i numeri interi usando decine, centinaia, migliaia a cui riserviamo un apposito posto nel numero ed una colonna sull’abaco. Bisognerà allora trovare un posto anche per il decimo, perché anch’esso fa parte della numerazione a base 10. Ma dove?

Prendiamo l’abaco, scriviamo sotto a ogni asta la marca corrispondente. Abbiamo sempre detto che occorrono 10 unità per formare 1 decina; 10 decine per formare 1 centinaio, 10 centinaia per formare 1 migliaio. Possiamo però anche dire che in 1 migliaio ci sono 10 centinaia, che in 1 centinaio ci sono 10 decine, che in 1 decina ci sono 10 unità.
Ora vediamo: che cosa significa 1/10? Secondo voi l’unità che cosa è della decina? E la decina del centinaio? E il centinaio del migliaio? Ma allora per rispettare questa sequenza dove dovremo mettere il decimo delle unità?
Ci verrà indicata la posizione a destra delle unità. Vediamo se è vero: se cambio una decina nella colonna delle unità devo mettere 10 unità, se cambio 1 unità in questa colonna che chiamiamo “dei decimi”, quanti ne devo mettere? Al contrario se nella colonna dei decimi ho 10 decimi, posso sostituirli con…. Molto bene!
Quindi anche ai decimi possiamo aggiungere la marca, che è d per non confonderla con da.

Rappresentiamo sul quaderno l’abaco.
Leggiamo questo numero: 1. Come? 1? Ma allora sono 1 unità? Come possiamo rimediare? Lasciamo provare fino ad introdurre la virgola per separare i decimi dalle unità intere. Il numero alla destra della virgola indica sempre dei decimi, cioè delle parti di unità; quindi scriviamo 0,1 e leggiamo 0 e 1 decimo. Possiamo quindi completare la scrittura precedente per esprimere la parte colorata:
con le lettere un decimo
con una frazione decimale 1/10
con il numero decimale 0,1


Se consideriamo due parti del disegno e poi successivamente le altre avremo:

1/10 – 2/10 – 3/10, ecc.
0,1 – 0,2 – 0,3.
Quanti d occorrono per formare un’unità intera?
Si possono a questo punto proporre alcune attività, da eseguire prima sempre collettivamente, per consolidare ed approfondire quanto appreso.
Ad esempio, scrivere numeri sotto forma di frazione e di numero decimale.


Spieghiamo anche, con opportuni esempi, come si possano scrivere quantità sotto forma di numero decimale.


Chiariamo bene agli alunni come i decimi siano parti di unità e posizioniamoli sulla linea dei numeri alla lavagna. Con l'aiuto della linea dei numeri facciamo eseguire numerazioni.


Proponiamo anche qualche esercizio di scomposizione.

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Vi ho detto che Br1 e Bass8 oggi vogliono stupirci. Ecco, guardate quest’altro disegno. Anche in questo caso si tratta di un puzzle.
Consegniamolo agli alunni, chiediamo cosa c’è di diverso rispetto al primo disegno. Si evidenzierà come il disegno sia diviso in 100 parti uguali. Facciamo incollare anche questo sul quadernone. Anche stavolta coloriamo non tutto il disegno, ma una sola parte.


Vediamo come possiamo indicare questa parte e quindi lo scriveremo sotto al disegno :

con le lettere un centesimo
con una frazione decimale 1/100
Anche stavolta fermiamoci a riflettere: il centesimo che abbiamo appena colorato che parte è del decimo? E del disegno intero? Quale sarà la sua posizione sull’abaco? Essendo 10 volte più piccolo del decimo metteremo i centesimi a destra dei decimi e li chiameremo c per non confonderli con le centinaia. Rappresentiamo sul quaderno l’abaco.
E quindi come lo indicheremo con i numeri decimali?

Abbiamo unità intere? Abbiamo un decimo intero? Abbiamo un centesimo intero? Quindi 0,01 che leggeremo 0 e 1 centesimo.
Possiamo quindi completare la scrittura precedente per esprimere la parte colorata:
con le lettere un centesimo
con una frazione decimale 1/100
con il numero decimale 0,01
Se consideriamo due parti del disegno e poi successivamente le altre avremo:

1/100 – 2/100 – 3/100, ecc
0,01 – 0,02 – 0,03, ecc 
Quanti c per formare un’unità intera? E per formare 1 d?
Anche per i centesimi proponiamo attività di consolidamento, sempre avendo cura di esemplificare prima alla lavagna attraverso esercizi collettivi.
- Ho 85 centesimi; quanti centesimi mancano per avere una unità?
- Se da un'unità tolgo 1 centesimo, quanti centesimi mi restano?
- Scrivi sotto forma di numero decimale: 27100, 4/100, 26/100, 8/100, 39/100, 100/100
- Scrivi sotto forma di numero decimale:
1 u, 2 d, 4 c =
1 u e 5 c =
4 d e 6 c =
3 da, 1 u, 2 d, 4 c =
2 da e 4 c =
1 h, 3 u, 5 c =
6 c =
34 c =


Ed ecco infine l’ultimo puzzle che ci hanno inviato Br1 e Bass8.
Consegniamolo agli alunni, chiediamo cosa c’è di diverso rispetto agli altri disegni. Si noterà come il disegno sia diviso in 1000 parti uguali. Facciamo incollare il disegno sul quadernone e coloriamone una sola parte.



Vediamo come possiamo indicare questa parte e quindi lo scriveremo sotto al disegno :
con le lettere un millesimo
con una frazione decimale 1/1000
Anche stavolta fermiamoci a riflettere: il millesimo che abbiamo appena colorato che parte è del centesimo? Del decimo? E del disegno intero?
Quale sarà la sua posizione sull’abaco? Essendo 10 volte più piccolo del centesimo metteremo i millesimi a destra dei centesimi e li chiameremo m.
Rappresentiamo l’abaco sul quaderno.

E quindi come lo indicheremo con i numeri decimali?
Abbiamo unità intere? Abbiamo un decimo intero? Abbiamo un centesimo intero? Abbiamo un millesimo intero? Quindi 0,001 che leggeremo 0 e 1 millesimo.
Possiamo quindi completare la scrittura precedente per esprimere la parte colorata:
con le lettere un millesimo
con una frazione decimale 1/1000
con il numero decimale 0,001

Se consideriamo due parti del disegno e poi successivamente le altre avremo:
1/1000 – 2/1000 – 3/1000
0,001 – 0,002 – 0,003.
Quanti m per formare un’unità intera? E per formare 1 c? E per formare 1 d? Osserviamo quindi come i numeri decimali siano formati da una parte intera e da una parte decimale, separate dalla virgola. Fai clic per stampare la casa dei decimali.



Un altro esercizio.


Una scheda.


Una verifica scritta da stampare

Un test/gioco on line per i tuoi alunni


Ulteriori risorse dal Web

Divisioni in colonna (parte 1) - classe terza

Matematica per gli insegnanti

Premetto che io preferisco far apprendere agli alunni lo svolgimento della divisione in colonna con procedimento esteso, in quanto, secondo me, si esplicitano meglio i numerosi passaggi necessari per la corretta esecuzione.

Una tecnica che può essere proposta con successo è quella della divisione canadese, che si basa sul metodo delle sottrazioni successive e che da molti è ritenuta più semplice della nostra.
Se devo eseguire, ad esempio, 158 : 12 dovrei procedere con sottrazioni successive per individuare quante volte il 12 è contenuto nel 158, fino a che sarà possibile ed in questo modo la divisione sarebbe molto lunga e noiosa. Per fortuna il procedimento si può abbreviare, come si vede in figura. 


Questa è una versione modificata perché i canadesi scrivono prima il divisore e poi il dividendo, ma l'essenza non cambia.

Mi chiedo: il 12 ci sta 10 volte nel 158? Sì, il risultato è 120. 
Tolgo allora 120 da 158, mi resta 38.
Mi chiedo: quante volte il 12 può stare nel 38? 3 volte e il risultato è 36.
Tolgo 36 ed ottengo 2 che è il resto, mentre il quoziente è dato dal totale delle volte, cioè 13.

Naturalmente otterrei lo stesso risultato ipotizzando che il 12 sia contenuto meno volte, solo che il procedimento si allunga.


Matematica per gli alunni


COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
L’alunno si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali e sa valutare l’opportunità di ricorrere a una calcolatrice.
Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, attraverso esperienze significative, che gli hanno fatto intuire come gli strumenti matematici siano utili per operare nella realtà
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

comprendere il significato dei numeri 1 e 0 nelle divisioni; eseguire divisioni  che prevedano anche un resto, con il divisore di un cifra.


PERCORSO DIDATTICO

Iniziamo l’attività partendo da una situazione ludica. In palestra dobbiamo sistemare 36 clavette in parti uguali per realizzare 3 percorsi. Quante clavette metteremo in ogni percorso?
Eseguiamo concretamente e, successivamente, in classe, proviamo a ripetere la situazione usando i regoli.
Dobbiamo eseguire 36 : 3. Suddividiamo prima le decine e poi le unità. Dopo la fase manipolativa curiamo anche la rappresentazione grafica.


Proviamo ad eseguire la stessa operazione in colonna. 




Per rendere meno arida la descrizione della procedura ho ideato una storiella, che con gli opportuni adattamenti numerici può accompagnare ognuna delle fasi di calcolo delle prime divisioni affrontate.
C’era una volta una casa così strana che non ci si capiva niente
in tre stanze abitavano dividendo, divisore e quoziente.
Il dividendo così bellino con il suo cappellino
sfida il divisore suo vicino:
“Io da te vorrei sapere
quante volte ti posso contenere!”
E il divisore in risposta
“Io in te ci sto una volta
e per dimostrarti che sono intelligente
l’uno metto al quoziente!”
Ma anche l’uno ha qualcosa da dire
“ Non bisticciate voi due o vi arresto
io moltiplico e trovo il resto!”
E di nuovo il dividendo
“Il resto solo non voglio lasciare,
tu metti il cappellino e scendilo ad accompagnare.
E ora, caro divisore, io da te vorrei sapere
Quante volte il 6 ti può contenere.”
E il divisore in risposta
“Nel 6 ci sto 2 volte
e per dimostrarti che sono sempre più intelligente
il due metto al quoziente!”
Ma anche il due ha qualcosa da dire
“ Lo sogno da tutta la vita,
io moltiplico, trovo il resto
e la divisione è finita.”
Naturalmente, in forma più matematica, possiamo anche suggerire agli alunni i consigli di Bassotto, sotto forma di diagramma di flusso. Fai clic qui per stamparlo.

Procediamo insieme ad effettuare altre operazioni alla lavagna affrontando il primo grado delle difficoltà, quello in cui il divisore è contenuto esattamente in ciascuna cifra del dividendo. Es.: 84 : 2 - 93 : 3 - 80 : 4 - 42 : 2 - 69 : 3 - 88 : 4 - 66 : 6.
Iniziamo a far svolgere lo stesso tipo di divisioni attraverso il lavoro individuale o in coppia.
Procediamo nel lavoro passando ad un secondo livello di difficoltà, quello in cui il divisore non è contenuto esattamente nella prima cifra del dividendo, ma la divisione è senza resto.
In tutti i casi simili a questi, essendo non esatto il risultato della divisione delle decine, emerge la necessità di operare un cambio in unità delle decine rimaste. Ad esempio, se dobbiamo eseguire 36 : 2, potremmo procedere prima con i regoli, poi con la rappresentazione grafica ed infine solo con i simboli.


Eseguiamo insieme alcuni esempi: 36:2/ 81:3/ 75:5/ 72:4 e poi facciamo eseguire a livello individuale.




La terza tappa del nostro percorso sulle divisioni in colonna ci porta ai casi in cui il divisore sta esattamente nella prima cifra del dividendo, non nella seconda. Si tratta quindi delle prime divisioni che incontriamo con il resto finale.
Ho fotocopiato 43 schede e le ho divise in due gruppi uguali. Quante schede in ogni gruppo? Eseguiamo concretamente, poi con i regoli, il disegno ed infine con la sola rappresentazione simbolica.


Eseguiamo insieme alcuni esempi: 49 : 4/ 98 : 3/ 87 : 4/ 57 : 5/ 65 : 6 e poi facciamo lavorare gli alunni individualmente.
Per scoprire la soluzione dell’indovinello, esegui le operazioni in colonna e trascrivi le lettere corrispondenti ai risultati.

Chi si gratta le orecchie col naso?


86 : 4 = N
86 : 8 = F
37 : 3 = E
49 : 2 = E
97 : 3 = T
59 : 5 = E
95 : 3 = A
68 : 3 = L
 

Eccoci alla quarta fase, dove affronteremo i casi delle divisioni in cui il divisore non sta esattamente né nella prima né nella seconda cifra del dividendo. Operiamo anche stavolta prima a livello manipolativo usando i regoli, in modo che gli alunni operino materialmente il cambio in unità delle decine di resto, e successivamente provvediamo alla rappresentazione grafica e simbolica. Se, ad esempio, dobbiamo eseguire 47 : 3, potremmo procedere così.


Eseguiamo insieme divisioni simili: 57 : 4 - 83 : 5 - 73 : 3 - 49 : 3.
Procediamo al lavoro individuale.
Per scoprire la soluzione dell’indovinello, esegui le operazioni in colonna e trascrivi le lettere corrispondenti ai risultati.
Che cosa ci fanno 8 cani in mezzo al mare?

77 : 6 = N
97 : 4 = O
96 : 5 = U
85 : 3 = T
93 : 8 = A
69 : 4 = T
93 : 6 = O
54 : 4 = N
97 : 2 = C



Una mia presentazione in PowerPoint per accompagnare la lezione.




Una verifica scritta da stampare

Un test/gioco on line per i tuoi alunni

Una presentazione in Power Point con i vari casi della divisione in colonna

Ulteriori risorse dal Web

Vedi U. A. di riferimento

Verifica finale classe quarta

Dopo aver presentato un compito autentico atto a valutare i traguardi di competenza, propongo  ora una verifica finale delle conoscenze e abilità matematiche per la classe quarta.
La verifica è corredata anche di una griglia per la tabulazione dei punti e per l'attribuzione del voto.
Ecco i links per scaricare la verifica.
Griglia per la tabulazione: in pdfin Excel

Dal 2 agosto 2010