Matematica per gli insegnanti
Vediamo quali sono le situazioni che possiamo incontrare calcolando il valore di una frazione, cioè il quoziente tra il numeratore ed il denominatore.
Vediamo il caso in cui la frazione è apparente.
14/7 = 2 40/5 = 8
Se la frazione è apparente si trasformerà in un numero intero.
Consideriamo ora le frazioni decimali.
32/100 = 0,32 53/10 = 5,3 165/1000 = 0,165
Se la frazione è decimale si trasforma in un numero decimale limitato, perché ha un numero di cifre decimali limitato.
Consideriamo ora frazioni non decimali, cioè frazioni ordinarie con denominatore diverso da 10 o da una potenza di 10
3/8 = 0,375 7/20 = 0,35 135/50 = 2,7
4/11 = 0,36363636……. 8/15 = 0,533333333….. 6/13 = 0,4615384…….
Possiamo osservare come il primo gruppo di frazioni ordinarie si trasformi in numeri decimali limitati mentre il secondo gruppo dà origine a numeri decimali illimitati perché la divisione tra numeratore e denominatore, anche se proseguita, non avrà mai resto zero, quindi il numero delle cifre decimali del quoziente è illimitato.
Come possiamo sapere se una frazione ordinaria darà origine ad un numero decimale limitato o illimitato? E’ semplice, basta scomporre in numeri primi il suo denominatore.
Facciamolo per il primo gruppo di frazioni:
8 = 23 20 = 22 x 5 50 = 2 x 52
Scomponiamo ora il denominatore del secondo gruppo di frazioni:
11 = 11 15 = 3 x 5 13 = 13
Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale limitato solo nei casi in cui la scomposizione in fattori primi del denominatore contenga esclusivamente il fattore 2, il fattore 5 o entrambi i fattori.
Bene, centriamo ora la nostra attenzione sui numeri decimali illimitati.
Consideriamo queste frazioni e calcoliamone il valore: 5/9, 10/3, 3/11, 2/27, 5/12, 11/45, 11/12
5/9 = 0,55555……
10/3 = 3,333333…..
3/11 = 0,27272727……
2/27 = 0,074074074……
5/12 = 0,41666666….
11/45 = 0,24444444….
11/12 = 0,91666666….
Possiamo vedere come, subito dopo la virgola, una cifra o un gruppo di cifre si ripete all’infinito: la cifra o il gruppo di cifre che si ripete si chiama periodo ed i numeri sono detti numeri decimali illimitati periodici semplici. Per indicare il periodo si mette una lineetta sopra la cifra o il gruppo di cifre che si ripete.
Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico semplice se nella scomposizione in fattori primi del denominatore non è presente né il fattore 2 né il fattore 5.
Consideriamo ora le altre tre frazioni.
Vediamo come, in questi casi, il periodo non inizi subito dopo la virgola in quanto tra la virgola ed il periodo è presente una cifra o un gruppo di cifre. Questi numeri sono detti numeri decimali illimitati periodici misti.
La cifra o il gruppo di cifre tra la virgola ed il periodo si chiama antiperiodo e si scrive in questo modo
Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico misto se nella scomposizione in fattori primi del denominatore è presente il fattore 2 o il fattore 5 o entrambi oltre ad altri fattori primi.
Possiamo quindi rappresentare così l’insieme Q+
Possiamo sintetizzare così ciò che si ottiene nelle varie possibilità di trasformazione di una frazione in numero:
La frazione è apparente
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Numero naturale
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La frazione è ordinaria
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Il denominatore contiene solo i fattori 2, 5 o entrambi
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Numero decimale limitato
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Il denominatore non contiene i fattori 2 e 5
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Numero decimale periodico semplice
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Il denominatore contiene i fattori 2, 5 o entrambi insieme ad altri fattori
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Numero decimale periodico misto
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Matematica per gli alunni
COMPETENZE
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ABILITA’
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UNITA’
DI APPRENDIMENTO
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Riconosce
e utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici (numeri decimali,
frazioni). Sviluppa un atteggiamento positivo
rispetto alla matematica, attraverso esperienze significative, che gli hanno
fatto intuire come gli strumenti matematici che ha imparato ad utilizzare
siano utili per operare nella realtà.
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- Al termine della classe terza l'alunno dovrà:
individuare l'unità frazionaria in un intero ed in una quantità; trovare
la frazione corrispondente ad un intero e a una quantità data; data una frazione individuare
la parte corrispondente; leggere, scrivere, confrontare numeri
decimali, rappresentarli sulla retta ed eseguire semplici addizioni e
sottrazioni, anche con riferimento alle monete o ai risultati di semplici
misure.
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PERCORSO DIDATTICO
Iniziamo l'attività considerando le frazioni decimali. Possiamo prendere avvio dall'esecuzione di una scheda che ci darà successivamente modo di considerare le frazioni scritte durante l'esercizio.
Fai clic per stampare la scheda.
1/10 = 1 : 10 l’intero è stato diviso in 10 parti
1/100 = 1 : 100 l’intero è stato diviso in 100 parti
1/1000 = 1 : 1000 l’intero è stato diviso in 1000 parti
Una volta che gli alunni sanno quali sono le frazioni decimali, possiamo procedere alla seconda fase dell'attività. Premetto alla descrizione di questo segmento di lavoro che tutte le immagini successivamente utilizzate si possono stampare facendo clic su questo link.
Br1 e Bass8 ci hanno mandato un loro disegno della città che stanno visitando attualmente. Eccolo:
Lo vogliamo colorare? Lasciamo che gli alunni colorino il disegno e lo incollino sul quadernone. Al termine evidenziamo come gli alunni abbiano colorato 1 disegno intero, quindi possiamo scrivere sotto che si tratta di 1 disegno.
Br1 e Bass8 però oggi ci vogliono aiutare ad imparare una cosa nuova e quindi non si sono mica accontentati di mandarci il disegno che abbiamo appena colorato, ce ne hanno inviato anche degli altri. Ecco, guardate questo disegno. Si tratta di un semplice puzzle.
Consegniamolo agli alunni, chiediamo cosa c’è di diverso rispetto al primo disegno. Si evidenzierà come il disegno sia diviso in 10 parti uguali. Facciamo ritagliare le varie parti, mescoliamole e poi proviamo a ricostruire con precisione il disegno originale e ad incollarlo sul quadernone. Stavolta coloriamo non tutto il disegno, ma una sola parte.
Noi sappiamo già come indicare questa parte e quindi lo scriveremo sotto al disegno :
con una frazione decimale 1/10
A questo punto invitiamo gli alunni a riflettere. Si tratta di una frazione molto importante, noi infatti contiamo in base 10. Noi scriviamo i numeri interi usando decine, centinaia, migliaia a cui riserviamo un apposito posto nel numero ed una colonna sull'abaco. Bisognerà allora trovare un posto anche per il decimo, perché anch'esso fa parte della numerazione a base 10. Ma dove?
Prendiamo l’abaco, scriviamo sotto a ogni asta la marca corrispondente. Abbiamo sempre detto che occorrono 10 unità per formare 1 decina; 10 decine per formare 1 centinaio, 10 centinaia per formare 1 migliaio. Possiamo però anche dire che in 1 migliaio ci sono 10 centinaia, che in 1 centinaio ci sono 10 decine, che in 1 decina ci sono 10 unità.
Ora vediamo: che cosa significa 1/10? Secondo voi l’unità che cosa è della decina? E la decina del centinaio? E il centinaio del migliaio? Ma allora per rispettare questa sequenza dove dovremo mettere il decimo delle unità?
Ci verrà indicata la posizione a destra delle unità. Vediamo se è vero: se cambio una decina nella colonna delle unità devo mettere 10 unità, se cambio 1 unità in questa colonna che chiamiamo “dei decimi”, quanti ne devo mettere? Al contrario se nella colonna dei decimi ho 10 decimi, posso sostituirli con…. Molto bene!
Quindi anche ai decimi possiamo aggiungere la marca, che è d per non confonderla con da.
Rappresentiamo sul quaderno l’abaco.
Leggiamo questo numero: 1. Come? 1? Ma allora sono 1 unità? Come possiamo rimediare? Lasciamo provare fino ad introdurre la virgola per separare i decimi dalle unità intere. Il numero alla destra della virgola indica sempre dei decimi, cioè delle parti di unità; quindi scriviamo 0,1 e leggiamo 0 e 1 decimo. Possiamo quindi completare la scrittura precedente per esprimere la parte colorata:
con le lettere un decimo
con una frazione decimale 1/10
con il numero decimale 0,1
1/10 – 2/10 – 3/10, ecc.
0,1 – 0,2 – 0,3.
Quanti d occorrono per formare un’unità intera?
Si possono a questo punto proporre alcune attività, da eseguire prima sempre collettivamente, per consolidare ed approfondire quanto appreso.
Ad esempio, scrivere numeri sotto forma di frazione e di numero decimale.
Spieghiamo anche, con opportuni esempi, come si possano scrivere quantità sotto forma di numero decimale.
Chiariamo bene agli alunni come i decimi siano parti di unità e posizioniamoli sulla linea dei numeri alla lavagna. Con l'aiuto della linea dei numeri facciamo eseguire numerazioni.
Proponiamo anche qualche esercizio di scomposizione.
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Vi ho detto che Br1 e Bass8 oggi vogliono stupirci. Ecco, guardate quest’altro disegno. Anche in questo caso si tratta di un puzzle.
Consegniamolo agli alunni, chiediamo cosa c’è di diverso rispetto al primo disegno. Si evidenzierà come il disegno sia diviso in 100 parti uguali. Facciamo incollare anche questo sul quadernone. Anche stavolta coloriamo non tutto il disegno, ma una sola parte.
Vediamo come possiamo indicare questa parte e quindi lo scriveremo sotto al disegno :
con le lettere un centesimo
con una frazione decimale 1/100
Anche stavolta fermiamoci a riflettere: il centesimo che abbiamo appena colorato che parte è del decimo? E del disegno intero? Quale sarà la sua posizione sull'abaco? Essendo 10 volte più piccolo del decimo metteremo i centesimi a destra dei decimi e li chiameremo c per non confonderli con le centinaia. Rappresentiamo sul quaderno l’abaco.
E quindi come lo indicheremo con i numeri decimali?
Abbiamo unità intere? Abbiamo un decimo intero? Abbiamo un centesimo intero? Quindi 0,01 che leggeremo 0 e 1 centesimo.
Possiamo quindi completare la scrittura precedente per esprimere la parte colorata:
con le lettere un centesimo
con una frazione decimale 1/100
con il numero decimale 0,01
Se consideriamo due parti del disegno e poi successivamente le altre avremo:
1/100 – 2/100 – 3/100, ecc
0,01 – 0,02 – 0,03, ecc
Quanti c per formare un’unità intera? E per formare 1 d?
Anche per i centesimi proponiamo attività di consolidamento, sempre avendo cura di esemplificare prima alla lavagna attraverso esercizi collettivi.
- Ho 85 centesimi; quanti centesimi mancano per avere una unità?
- Se da un'unità tolgo 1 centesimo, quanti centesimi mi restano?
- Scrivi sotto forma di numero decimale: 27100, 4/100, 26/100, 8/100, 39/100, 100/100
- Scrivi sotto forma di numero decimale:
1 u, 2 d, 4 c =
1 u e 5 c =
4 d e 6 c =
3 da, 1 u, 2 d, 4 c =
2 da e 4 c =
1 h, 3 u, 5 c =
6 c =
34 c =
Ed ecco infine
l’ultimo puzzle che ci hanno inviato Br1 e Bass8.
Consegniamolo agli alunni, chiediamo cosa c’è di
diverso rispetto agli altri disegni. Si noterà come il disegno sia diviso in
1000 parti uguali. Facciamo incollare il disegno sul quadernone e coloriamone
una sola parte.
Vediamo come
possiamo indicare questa parte e quindi lo scriveremo sotto al disegno :
con le lettere un
millesimo
con una frazione
decimale 1/1000
Anche stavolta
fermiamoci a riflettere: il millesimo che abbiamo appena colorato che parte è
del centesimo? Del decimo? E del disegno intero?
Quale sarà la sua
posizione sull'abaco? Essendo 10 volte più piccolo del centesimo metteremo i
millesimi a destra dei centesimi e li chiameremo m.
Rappresentiamo l’abaco sul quaderno.
E quindi come lo
indicheremo con i numeri decimali?
Abbiamo unità
intere? Abbiamo un decimo intero? Abbiamo un centesimo intero? Abbiamo un
millesimo intero? Quindi 0,001 che leggeremo 0 e 1 millesimo.
Possiamo quindi
completare la scrittura precedente per esprimere la parte colorata:
con le lettere un
millesimo
con una frazione
decimale 1/1000
con il numero
decimale 0,001
Se consideriamo due
parti del disegno e poi successivamente le altre avremo:
1/1000 – 2/1000 –
3/1000
0,001 – 0,002 –
0,003.
Un altro esercizio.
Una scheda.
Un test/gioco on line per i tuoi alunni
Ulteriori risorse dal Web
