Raggruppamenti di 2° ordine in base 10: il centinaio - classe terza

Matematica per gli insegnanti

I raggruppamenti di 1° ordine sono quelli che, in base 10, permettono di raggruppare 10 unità e cambiarle in una decina, in base 5 di cambiare 5 unità in una cinquina, in base 8 di cambiare 8 unità in un’ottina e così via.

I raggruppamenti di 2° ordine sono quelli che, in base 10, permettono di raggruppare 10 decine e cambiarle in un centinaio, in base 4 di cambiare 4 quartine in una quartina di quartine, in base 5 di cambiare 5 cinquine in una cinquina di cinquine, ecc.

Sono in pratica i raggruppamenti dei gruppi ed ogni raggruppamento contiene tanti gruppi quanti sono indicati dalla base.

Il raggruppamento di 2° ordine in base 10 per passare dalle decine alle centinaia è un passaggio molto importante e non sempre facile per il bambino: occorre lavorare molto con materiale concreto, passando successivamente alla rappresentazione grafica e simbolica.

Matematica per gli alunni

COMPETENZE	ABILITA’	UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica. Riconosce ed utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici	–    Al termine della classe terza l'alunno dovrà: riconoscere nella scrittura in base dieci dei numeri il valore posizionale delle cifre, leggere e scrivere i numeri dallo 0 al 999; conoscere l'ordinalità dei numeri; stabilire relazioni tra i numeri utilizzando i simboli > < =; ordinare i numeri in ordine crescente e decrescente; numerare in ordine progressivo e regressivo; effettuare raggruppamenti e cambi in basi diverse da 10; effettuare raggruppamenti di 2° ordine in base 10 ed esprimere le quantità ottenute con i simboli numerici; utilizzare correttamente lo zero ed il valore posizionale delle cifre	Unità n° 1: Scienza e fantascienza

PERCORSO DIDATTICO

Adesso spieghiamo noi a Br1 ed al Bass8 come si conta sul nostro pianeta, sulla Base 10. Ho portato una scatola di pezzi di polistirolo. Come facciamo a sapere quanti sono? Abbiamo la necessità di raggruppare prima per decine e poi con il supergruppo, il centinaio. Rappresentiamo sul quaderno il h con le crocette, poi con i cambi in piatti, da, u e con l’abaco, scrivendo che : “Nel nostro sistema di numerazione decimale 10 unità si cambiano in una decina; 10 decine si cambiano in un centinaio (h). 
1 h = 10 da = 100 u

Vediamo sull’abaco il numero 99 e chiediamo cosa succederà aggiungendo una unità, in seguito proseguiamo aggiungendo sempre 1 u fino a 110. Registriamo sul quaderno, usando una scheda per velocizzare il lavoro. Se vuoi stampare la scheda fai clic qui.

Proponiamo poi attività in cui occorra raggruppare per 10 e registrare in tabella: ogni libro o quaderno attivo ne propone. Io suggerisco anche un'altra scheda da stampare. Fai clic qui per scaricarla.
E' il momento poi di proporre esercizi per favorire i meccanismi di calcolo mentale tesi alla formazione del h. Iniziamo con numeri formati da sole decine.

Successivamente partiamo da qualunque altro numero. Br1 ed il Bass8 guidano il treno spaziale, un treno particolare che parte solo quando in tutti i vagoni ci sono 100 passeggeri. Completiamo il numero dei passeggeri nei vagoni in modo da permettere al treno di partire.

Per questo lavoro potrebbe essere molto utile avere una linea dei numeri fino a cento.
Ad esempio, se da 37 devo arrivare a 100, utilizzando i numeri amici del dieci aggiungo 3 ed arrivo a 40, da 40 a 100 ne mancano 60, quindi il numero cercato è 63. Non è un'attività semplice, alcuni alunni sbaglieranno indicando 73 perchè aggiungono le 3 unità ma poi contano dalla decina precedente, invece che da quella successiva.

Propongo qui un mio quiz, che si può svolgere in classe con tutti gli alunni.

Una verifica scritta dell'U. A. da stampare

Un test sui contenuti dell'unità n° 1: i numeri fino a 1000

Un test/gioco on line per i tuoi alunni

Raggruppamenti di 2° ordine in basi diverse - classe terza

Matematica per gli insegnanti

La base di un sistema di numerazione indica quante unità di un ordine servono a formarne una dell’ordine superiore. In base 10 occorrono 10 unità del primo ordine per formare un’unità del secondo ordine, in base 4 occorrono 4 unità del primo ordine per formare un’unità del secondo ordine e così via.

Per indicare un numero, ad esempio 15, espresso nella base 6, si usa la scrittura (15)₆: si legge “uno cinque in base sei” per distinguerlo da quindici espresso in base 10.

Proviamo a contare 27 oggetti in base 5.

Invece che raggruppare in decine dovremo raggruppare 5 unità in cinquine. Otteniamo 5 cinquine e restano 2 unità.

Ora dovremo raggruppare per cinquine di cinquine. Otteniamo una cinquina di cinquine e 2 unità.

Il numero ottenuto si scrive (102)₅ e si legge “uno zero due in base 5”.

Possiamo constatare che i simboli che occorrono per scrivere un numero in base 10 sono dieci: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}; i simboli necessari per scrivere un numero in base 5 sono cinque: {0,1,2,3,4}; i simboli necessari per scrivere un numero in base 2 sono due: {0,1,}. 

Quindi i simboli necessari per scrivere un numero in una base qualsiasi C sono C e precisamente {0,1,…,C−1}

$$

Per trasformare un numero espresso in una base diversa da 10 in base 10, occorre scrivere il numero nella sua forma polinomiale.

Es. : dobbiamo trasformare 153₍₆₎ in base 10

1 x 6² + 5 x 6¹ + 3 x 6⁰ = 36 + 30 + 3 = 69

10111₍₂₎

1 x 2⁴ + 0 x 2³ + 1 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰ = 16 + 0 + 4 + 2 + 1 = 23

213₍₄₎ = 2 x 4² + 1 x 4¹ + 3 x 4⁰ = 32 + 4 + 3 = 39

Se dobbiamo fare il lavoro inverso, cioè quello di trasformare qualunque numero espresso in base 10 in una base diversa da 10 possiamo usare il metodo delle divisioni successive.

$<span\; style="font-family:\; "verdana"\; ,\; sans-serif;">\; </span>$

Se, ad esempio, vogliamo esprimere il numero 56₍₁₀₎ in base 4 dovremo raggruppare e quindi dividere successivamente per 4. Il numero che cerchiamo sarà dato dai resti considerati dal basso verso l’alto.

56₍₁₀₎ = 320₍₄₎

Vediamo ora di trasformare il numero 36₍₁₀₎ in base 3.

36₍₁₀₎ = 1100₍₃₎

Matematica per gli alunni

COMPETENZE	ABILITA’	UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica. Riconosce ed utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici	Al termine della classe terza l'alunno dovrà: effettuare raggruppamenti e cambi in basi diverse da 10; effettuare raggruppamenti di 2° ordine in base 10 ed esprimere le quantità ottenute con i simboli numerici; utilizzare correttamente lo zero ed il valore posizionale delle cifre	Unità n° 1: Scienza e fantascienza

PERCORSO DIDATTICO

Bruno ed il Bassotto svolazzano tra i pianeti dei numeri, atterrando ora su l’uno ora sull’altro e divertendosi un mondo a vedere i raggruppamenti. Sì, infatti sul Pianeta del 2 o Base due si raggruppa sempre per 2, sul Pianeta del 3 o Base 3 si raggruppa sempre per 3, sul Pianeta del 4 o Base 4 si raggruppa sempre per 4 e così via. Seguiamo i nostri amici: ecco, sono atterrati poco fa sulla Base 3 ed ora sono al bar della Base spaziale dove stanno comprando pasticcini (cosa ci volete fare, i nostri amici sono golosi!!!). Per ogni pasticcino comprato noi useremo un regolo bianco. Br1 ne ha comprati 8, quindi mettiamo sul banco 8 regoli bianchi. Ma ecco che il barista glieli raggruppa per 3 e fa un pacchetto ogni 3 pasticcini. Raggruppiamo anche noi per 3 e cambiamo con un regolo lungo da 3. Br1 ottiene 2 pacchetti da 3 e 2 pasticcini da soli.

Rappresentiamo sul quaderno cosa abbiamo fatto

Bass8, molto più goloso di Br1 ne ha comprati il doppio, 16 pasticcini. Prendiamo quindi 16 regoli bianchi. Anche a lui il barista raggruppa i pasticcini per 3 e fa un pacchetto ogni 3 pasticcini. Raggruppiamo anche noi per 3 e cambiamo ogni gruppo con un regolo lungo da 3. Bassotto ottiene 5 pacchetti ed un pasticcino solo. Bassotto fa per afferrare i pacchetti e gustarsi i pasticcini ma il barista lo ferma con sguardo minaccioso, facendogli capire che non aveva ancora finito. Infatti prende 3 pacchetti e li riunisce insieme in un superpacchetto. Raggruppiamo anche noi i 3 regoli verdi e vediamo che abbiamo formato un quadrato, un supergruppo, e ci restano 2 pacchetti di pasticcini ed un pasticcino solo.

Rappresentiamo sul quaderno

Vediamo esempi in basi diverse, lavorando sempre insieme (personalmente non ritengo importante né necessaria una verifica di questo lavoro, che ha il solo scopo di essere propedeutico alla comprensione del secondo cambio in base 10).

Una verifica scritta dell'U. A. da stampare

Un test sui contenuti dell'unità n° 1

Una lezione sui raggruppamenti di 2° ordine per le LIM

Ulteriori risorse sul Web

Bruno, il Bassotto e la prima U.A. - classe terza

In classe terza, in concomitanza con l’inizio più sistematico delle materie antropologiche, le varie unità di apprendimento matematico avranno relazioni più o meno strette con gli argomenti affrontati in scienze e geografia. Durante lo svolgimento delle U.A. sarà più chiaro ed esplicitato il modo in cui ciò avverrà.

Il filo conduttore che ci guiderà sarà costituito da due personaggi. Diciamo agli alunni che nel nostro viaggio nel mondo dei numeri, quest’anno ci accompagneranno due personaggi che arrivano dallo spazio lontano e profondo, più precisamente dalla galassia Matematica dove ci sono anche i pianeti dei numeri.
Io però non conosco ancora questi due personaggi, so solo come si chiamano: uno si chiama Bruno e l’altro si chiama Bassotto. Sì, proprio così, Bruno ed il Bassotto, ma loro preferiscono scriverlo così: Br1 e il Bass8. Diciamo agli alunni di provare a disegnare come immaginano loro questi due amici, poi gli stessi alunni sceglieranno, tra i disegni fatti, quello preferito che ci accompagnerà tutto l’anno.
Facciamo eseguire i disegni e procediamo alla scelta dell’immagine diciamo “ufficiale” e condivisa di Br1 e il Bass8. Nella mia classe gli alunni hanno scelto questo disegno.

Detto ciò, è mia intenzione all’inizio di ogni unità di apprendimento, rendere consapevoli gli alunni dei traguardi di conoscenza che dovranno raggiungere. Ho quindi detto agli alunni:

Il primo viaggio di quest’anno con l’aiuto di Bruno ed il Bassotto ha per argomento “Scienza e fantascienza”. Al termine di questo percorso voi dovreste aver imparato:
• La conoscenza dei numeri entro il 1000
• Eseguire addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni senza e con cambio
• Risolvere problemi con una domanda ed una operazione
• Conoscere le principali figure piane e solide.

Matematica per gli insegnanti

Il nostro sistema di numerazione è posizionale perché il valore delle cifre dipende dalla posizione che occupano nel numero.

Il nostro sistema di numerazione è decimale perché si raggruppa per dieci, in questo modo:

·        Le cifre da 0 a 9 sono chiamate unità del 1° ordine

·        10 unità del 1° ordine formano una decina (unità del 2° ordine)

·        10 unità del 2° ordine formano un centinaio (unità del 3° ordine)

·        10 unità del 3° ordine formano un migliaio (unità del 4° ordine)

·        10 unità del 4° ordine formano una decina di migliaia (unità del 5° ordine)

·        10 unità del 5° ordine formano un centinaio di migliaia (unità del 6° ordine) e così via.

Abbiamo quindi vari ordini, che vengono raggruppati per 3 in gruppi, chiamati classi o periodi, per renderne più facile la lettura e la scrittura.

Finora abbiamo parlato di numeri interi positivi e sappiamo che sono infiniti: questi numeri si chiamano naturali ed appartengono all’insieme N dei numeri naturali che è quindi un insieme ordinato (posso stabilire con certezza quale numero precede o segue un altro) ed infinito che si può rappresentare nei soliti 3 modi:

       per elencazione            N = {0; 1; 2, 3, …….}

       per caratteristica          N = {x/x è un numero naturale}

       graficamente con il diagramma di Eulero - Venn

Matematica per gli alunni

COMPETENZE	ABILITA’	UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, attraverso esperienze scientifiche che gli hanno fatto intuire come gli strumenti matematici che ha imparato a utilizzare siano utili per operare nella realtà. Riconosce ed utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici	Al termine della classe terza l'alunno dovrà: leggere e scrivere i numeri naturali in notazione decimale;  riconoscere nella scrittura in base dieci dei numeri il valore posizionale delle cifre dallo 0 al 999; conoscere l'ordinalità dei numeri.	Unità n° 1: Scienza e fantascienza

PERCORSO DIDATTICO

Oggi, nella lontana galassia Matematica è il 13 settembre, come da noi sul pianeta Terra. Aspettate che lo scrivo alla lavagna: 31 settembre. Sicuramente i bambini diranno “No, maestro, hai sbagliato, hai scritto 31 invece di 13”. “Accidenti! Avete ragione! Aspettate che sotto scrivo la data esatta: 13 settembre. Le cifre però sono le stesse, cosa c’è di diverso? Aspettiamo le loro osservazioni, poi scriviamo “Il nostro modo di contare è posizionale perché il valore delle cifre dipende dalla posizione.
21 = 2 da e 1 u
12 = 1 da e 2 u


Br1 e il Bass8 vivono in una bellissima grotta nel cratere di un vulcano spento insieme ad altri 20 amici. Quante persone abitano in quella immensa grotta? 22.
Ok, proviamo ad indicarle tutte con i numeri:
1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 - 12 – 13 – 14 – 15 – 16 – 17 – 18 – 19 – 20 – 21 – 22.
Ci accorgiamo che mentre le persone sono una diversa dall’altra, per scrivere i numeri usiamo solo 10 cifre. Come è possibile? E’ possibile perché ogni volta che abbiamo 10 elementi raggruppiamo ed operiamo un cambio. Scriviamo: “ Il nostro modo di contare è decimale perché contiamo in base 10, ogni volta che abbiamo 10 elementi li raggruppiamo ed operiamo un cambio.”


Componiamo e leggiamo alcuni numeri entro il 100. Giochiamo a raggruppare unità per formare decine, a cambiare decine in unità.
Proponiamo alcuni esercizi.

Ecco un video da Youtube che può aiutare nella spiegazione delle caratteristiche del sistema decimale.



Una verifica scritta dell'U. A. da stampare

Un test on line sui contenuti dell'unità n° 1

Un test/gioco on line per i tuoi alunni

Contenuti didattici - classe terza

Ho provveduto ad aggiornare i contenuti didattici previsti per la classe terza e la loro suddivisione nel corso dell'anno. Qual è la novità?
In precedenza si trattava di una periodizzazione stabilita a priori e quindi peccava di eccessivo ottimismo.
Quella che troverete ora invece è a posteriori, nel senso che riflette ciò che si è effettivamente svolto in classe ed in quali periodi dell'anno. Può essere quindi uno strumento molto utile per pianificare le attività didattiche dell'anno scolastico che sta iniziando.
Per vedere il nuovo elenco dei contenuti e la nuova periodizzazione, puoi fare clic qui. Si aprirà un file di Excel contenente due fogli: elenco contenuti e scansione temporale. Buon lavoro!