I poligoni regolari sono poligoni con lati ed angoli congruenti. Sono: triangolo equilatero, quadrato,
pentagono regolare, esagono regolare, ettagono regolare, ottagono regolare, ecc.
Consegniamo agli alunni due esagoni congruenti e quindi equivalenti: possiamo ricavarli da questa scheda.
Facciamo ritagliare ed incollare sul quaderno il primo esagono, poi facciamo ritagliare il secondo esagono, scomponendolo nei triangoli che lo costituiscono e facciamo incollare anche questi sul quaderno. Notiamo che l'esagono si può scomporre in 6 triangoli congruenti.
Proviamo anche con un altro poligono regolare, ad esempio il quadrato fino a scoprire che ogni poligono regolare è scomponibile in tanti
triangoli uguali quanti sono
i suoi lati. L’altezza di ciascuno dei triangoli uguali è detta apotema.
Disegniamo sul quaderno due quadrati con i lati rispettivamente di 5 e di 4 cm. Scomponiamo i quadrati in quattro triangoli congruenti e tracciamo l'apotema. Misuriamo l'apotema tracciata: nel primo caso la lunghezza è 2,5 cm, nel secondo quadrato l'apotema misura 2 cm.
Notiamo che in ogni quadrato l'apotema misura sempre la metà del lato.
Dividiamo ora la misura dell'apotema per la misura del lato.
Proviamo con un altro poligono regolare, ad esempio con il triangolo equilatero.
Disegniamo sul quaderno due quadrati con i lati rispettivamente di 5 e di 4 cm. Scomponiamo i quadrati in quattro triangoli congruenti e tracciamo l'apotema. Misuriamo l'apotema tracciata: nel primo caso la lunghezza è 2,5 cm, nel secondo quadrato l'apotema misura 2 cm.
Notiamo che in ogni quadrato l'apotema misura sempre la metà del lato.
Dividiamo ora la misura dell'apotema per la misura del lato.
Possiamo
dire che in ogni poligono regolare il rapporto tra apotema e lato è costante
e si chiama numero fisso.
Ogni
poligono regolare ha quindi un numero fisso, cioè un rapporto fisso tra la
misura dell'apotema e quella del lato.
Ecco
una tabella dei numeri fissi di alcuni poligoni regolari:
Triangolo
equilatero
|
0,288
|
Quadrato
|
0,5
|
Pentagono
regolare
|
0,688
|
Esagono
regolare
|
0,866
|
Ettagono
regolare
|
1,038
|
Ottagono
regolare
|
1,207
|
Facciamo completare una prima tabella, in cui dato il lato gli alunni debbano calcolare la misura del perimetro.
FIGURA
|
LATO
|
PERIMETRO
|
Pentagono
regolare
|
13,5
cm
|
……………………………………
|
Esagono
regolare
|
4,4
cm
|
……………………………………
|
Ottagono
regolare
|
8,9
cm
|
……………………………………
|
Proseguiamo con una seconda tabella, in cui occorre calcolare la misura del lato o del perimetro.
Presentiamo ancora un'altra tabella in cui occorra calcolare il lato o l'apotema.
Se gli alunni hanno compreso il lavoro fin qui svolto, possiamo procedere alla scoperta del modo di calcolare l'area dei poligoni regolari.
Distribuiamo ad ogni alunno una coppia di esagoni regolari congruenti e dunque equivalenti (fai clic per stamparli). Ritagliamo il primo esagono ed incolliamolo sul quaderno.
Notiamo che non è semplice stabilire quanti cm2 misura la sua superficie. Possiamo, però, operando sul secondo esagono fare questa trasformazione.
Si ottiene un romboide con la superficie doppia dell’esagono. Quindi se troviamo l’area del romboide troviamo la doppia area dell’esagono. La base del romboide corrisponde alla somma dei lati dell'esagono (il perimetro) e l’altezza è uguale all’apotema. Quindi:
Se gli alunni hanno compreso il lavoro fin qui svolto, possiamo procedere alla scoperta del modo di calcolare l'area dei poligoni regolari.
Notiamo che non è semplice stabilire quanti cm2 misura la sua superficie. Possiamo, però, operando sul secondo esagono fare questa trasformazione.
Si ottiene un romboide con la superficie doppia dell’esagono. Quindi se troviamo l’area del romboide troviamo la doppia area dell’esagono. La base del romboide corrisponde alla somma dei lati dell'esagono (il perimetro) e l’altezza è uguale all’apotema. Quindi:
Realizziamo un algoritmo per il calcolo dell’area.
Suggerisco una mia presentazione in PowerPoint: fai clic per scaricarla.
Proponiamo una tabella da completare, eseguendo i relativi calcoli sul quaderno.
Proponiamo una tabella da completare, eseguendo i relativi calcoli sul quaderno.
POLIGONO
|
LATO
|
APOTEMA
|
PERIMETRO
|
AREA
|
Triangolo equilatero
|
8 m
|
…………………
|
…………………
|
…………………
|
Quadrato
|
10 dm
|
…………………
|
…………………
|
…………………
|
Pentagono regolare
|
55 cm
|
…………………
|
…………………
|
…………………
|
Esagono regolare
|
7,4 m
|
…………………
|
…………………
|
…………………
|
Ottagono regolare
|
100 m
|
…………………
|
…………………
|
…………………
|
Iniziamo anche a dedicarci alla risoluzione di problemi, procedendo prima collettivamente. Esempio:
"La pianta del castello ottagonale di Castel del Monte, in Puglia, misura 16,30 m per ciascun lato. Al centro vi è un cortile sempre ottagonale con il lato di 7 m. Qual è l'area della parte coperta del castello?"
Procediamo poi con altri problemi a risoluzione individuale o di coppia. Esempi:
"Calcola la misura del lato di un pentagono regolare che ha l'apotema di 18,576 m"
"Calcola la misura del lato di un esagono regolare con l'apotema di 9,526 m"
"Un monumento ha la base esagonale con il lato di 2,5 m. Calcola l'area occupata dalla base".
"La pianta del castello ottagonale di Castel del Monte, in Puglia, misura 16,30 m per ciascun lato. Al centro vi è un cortile sempre ottagonale con il lato di 7 m. Qual è l'area della parte coperta del castello?"
Procediamo poi con altri problemi a risoluzione individuale o di coppia. Esempi:
"Calcola la misura del lato di un pentagono regolare che ha l'apotema di 18,576 m"
"Calcola la misura del lato di un esagono regolare con l'apotema di 9,526 m"
"Un monumento ha la base esagonale con il lato di 2,5 m. Calcola l'area occupata dalla base".
Una lezione per Lim sull'area dei poligoni regolari
Un test/gioco on line per i tuoi alunni
Una verifica scritta da stampare
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Una verifica scritta da stampare
