lunedì 24 aprile 2017

Frazioni di quantità discontinue e calcolo della parte frazionaria - classe terza

Matematica per gli insegnanti

Abbiamo visto che spesso si parla di quantità continue e di quantità discontinue o discrete. Di che si tratta? Cito da Wikipedia:
Una definizione (forse) intuitiva, anche se molto informale e imprecisa, è la seguente: un oggetto è considerato discreto se è costituito da elementi isolati, cioè non contigui tra loro, mentre è considerato continuo se contiene infiniti elementi e se tra questi elementi non vi sono spazi vuoti. 
Matematica per gli alunni

COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Riconosce e utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici (numeri decimali, frazioni). Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, attraverso esperienze significative, che gli hanno fatto intuire come gli strumenti matematici che ha imparato ad utilizzare siano utili per operare nella realtà.
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

individuare l'unità frazionaria in un intero ed in una quantità; trovare la frazione corrispondente ad un intero e a una quantità data; data una frazione individuare la parte corrispondente.


PERCORSO DIDATTICO

Abbiamo visto le frazioni di quantità continue, ma le frazioni sono anche usate per indicare parti di quantità discontinue. Proviamo ad esempio a considerare ½ della classe per l’effettuazione di un gioco in palestra, dovremo dividere la classe in 2 sottoinsiemi equipotenti e poi considerarne uno. Prendiamo ora ¾  dei 24 pennarelli che sono in questa scatola, dobbiamo dividere i 24 pennarelli in 4 sottoinsiemi equipotenti e poi considerare 3 dei sottoinsiemi così formati. Dopo alcuni esempi a livello manipolativo operiamo solo su insiemi rappresentati.




Dobbiamo ora scoprire la regola per calcolare la parte frazionaria di un numero.

Cominciamo considerando le unità frazionarie.
Br1 e Bass8, come sappiamo, sono in una metropoli, attratti dalle possibilità che questa offre. Ad esempio, la grande città offre molte possibilità di passare il tempo libero dedicandosi ad attività ricreative, culturali, sportive.
Infatti i due, giorni fa, sono entrati in un museo per ammirare i dipinti qui esposti. In una grande sala che contiene 28 quadri, i nostri due amici ne hanno già visti 1/7. Quanti quadri hanno visto?
Proviamo ancora con il disegno, riallacciandoci così all'attività precedente e poi vediamo invece come dovremmo operare per calcolare il risultato senza l'aiuto del disegno: dovremo dividere i 28 quadri in 7 parti uguali e considerare una di queste parti. Con i numeri:
28 : 7 = 4 valore di 1/7



Vediamo alcuni altri esempi insieme e poi con lavoro individuale.



Dopo aver visto come calcolare le unità frazionarie, estendiamo il discorso al calcolo delle parti frazionarie.
Successivamente alla visita del museo, i nostri due amici sono entrati in una palestra, dove sono stati immediatamente presi in consegna da un arcigno istruttore che li ha fatti subito salire sulla cyclette e pedalare per 15 minuti. Dopo ciò, i nostri sono stati messi a fare degli esercizi per gli addominali. Dovevano fare 30 esercizi, ma giunto ai 4/6 Bassotto è crollato stremato. Quanti sono gli esercizi che Bassotto è riuscito a fare? Lasciamo provare ed operare gli alunni nel tentativo di giungere alla risposta. Se gli interventi degli alunni prendono strade, per così dire, indesiderate, facciamo notare che sappiamo già come il denominatore 6 indichi in quante parti va diviso l’intero. Tutti gli esercizi dovevano essere 30, 30 : 6 = 5 che è il valore di una delle parti ottenute; il numeratore 4 indica quante parti devo considerare, quindi 5 x 4 = 20.
Sintetizziamo con i numeri: 30 : 6 = 5 5 x 4 = 20
Bè, non è proprio in grande forma Bassotto, è riuscito a compiere solo 20 esercizi per gli addominali. 
Finito questo, i nostri due eroi, già ansimanti, sono stati messi sul tapis roulant e l’istruttore ha impostato un programma di 20 minuti. Stavolta è stato Br1 ad arrendersi dopo aver corso i ¾ dei minuti previsti. Per quanti minuti è riuscito a correre Br1?



Vediamo collettivamente ancora un caso:
Durante la prossima gita scolastica per l’ingresso a Cowboyland la nostra classe deve pagare € 450. Dobbiamo però versare come caparra i 3/10. Quanto dobbiamo versare? 



Possiamo ora proporre esercitazioni individuali.
“Elias ha letto i ¾ delle pagine di un libro di avventura di 260 pagine. Quante pagine ha letto?”.

“Un negoziante ha comprato 135 uova. Durante il trasporto ne ha rotte 1/5. Quante sono le uova rotte?”

Possiamo proporre anche una scheda come questa. Fai clic per stamparla.



Ecco un'attività che può essere svolta on line.


Una verifica scritta da stampare

Un test/gioco on line per i tuoi alunni

Ulteriori risorse dal Web


giovedì 20 aprile 2017

Frazioni di quantità continue - classe terza

Eccoci giunti agli argomenti della sesta U. A. "La città".
Anche stavolta rendiamo partecipi gli alunni dei traguardi da raggiungere al completamento dell'unità di apprendimento ed elenchiamoli siul quaderno.
Al termine del sesto percorso "La città" dovrai aver imparato a:

• Conoscere ed usare le frazioni
• Conoscere ed usare i numeri decimali
• Conoscere ed usare i sottomultipli dell’euro
• Conoscere ed usare le misure di capacità
• Risolvere problemi sul S.M.D.


Matematica per gli insegnanti

Guardiamo questa figura.
Vediamo che abbiamo considerato 4 volte l’unità frazionaria 1/6
1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6

Se invece osserviamo quest’altra figura:
vediamo che abbiamo considerato 3 volte l’unità frazionaria ¼
¼ + ¼ + ¼  = ¾

4/6, ¾ sono frazioni
La frazione è quindi un operatore che divide un intero in parti uguali e ne considera alcune di esse.

Ora consideriamo invece la frazione come quoziente tra due numeri, il numeratore ed il denominatore.
2/5 = 2 : 5

Consideriamo per un momento i numeri naturali e scopriremo che qualunque numero naturale si può scrivere sotto forma di frazione.
Cominciamo dallo “0”: si può scrivere come una frazione avente “0” al numeratore. Infatti:
0/4 = 0 : 4 = 0
0/6 = 0 : 6 = 0
Passiamo al numero 1: si può indicare con una frazione apparente con numeratore uguale al denominatore
3/3 = 3 : 3 = 1
5/5 = 5 : 5 = 1
Tutti gli altri numeri naturali si possono scrivere con una frazione con denominatore 1
10/1 = 10 : 1 = 10
7/1 = 7 : 1 = 7
oppure
con una frazione avente al numeratore un multiplo del denominatore. Ad esempio se io volessi scrivere il numero 15 sotto forma di frazione potrei scrivere così: 15/1, 30/2, 45/3, ecc

Considerando la frazione come quoziente tra due numeri, possiamo quindi stabilire un nuovo insieme che includerà tutte le frazioni. Chiameremo questo insieme come insieme Q+.
Da quanto detto sopra possiamo facilmente capire come l’insieme dei numeri naturali N sia un sottoinsieme dell’insieme Q+ ed indicheremo questa relazione così: N Ì Q+.

Matematica per gli alunni


COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
Riconosce e utilizza rappresentazioni diverse di oggetti matematici (numeri decimali, frazioni). Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, attraverso esperienze significative, che gli hanno fatto intuire come gli strumenti matematici che ha imparato ad utilizzare siano utili per operare nella realtà.
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

individuare l'unità frazionaria in un intero ed in una quantità; trovare la frazione corrispondente ad un intero e a una quantità data; data una frazione individuare la parte corrispondente.


PERCORSO DIDATTICO

Iniziamo le attività didattiche sulle frazioni considerando in un primo tempo il frazionamento di quantità continue.
Partiamo da una situazione concreta: ho un foglio da distribuire in parti uguali a 3 alunni. Come fare?

Non sempre abbiamo bisogno di un oggetto intero, a volte abbiamo bisogno di parti di oggetti. E, a questo, proposito, è importante far capire agli alunni la differenza fra spezzare e frazionare.
Io posso spezzare una quantità intera in parti disuguali (ad es. mi cade a terra un piatto).
Se da una torta taglio una fettina, l’ho divisa in due parti disuguali oppure posso dividere la stessa torta in 4-6-8 parti uguali. Quando io divido un intero in parti esattamente uguali  dico che “fraziono”, che vuol dire dividere in parti uguali. Facciamo molti esempi concreti con frutti, cartoline, fogli, cartoncini, mostrando la differenza fra spezzare e frazionare.

Br1 e Bass8 sono abilissimi nel frazionare, infatti nella loro Galassia li chiamano Super Frazionatori.

Ora, si da il caso che, essendo ormai da molto tempo nella fattoria di Ambrogio, i due hanno approfittato di un giorno di ferie per andare a visitare una delle grandi città che costellano la pianura. E non vi dico la loro sorpresa nel trovarsi in una grande metropoli. Come prima cosa sono entrati in un grande supermercato e Bass8 si è diretto subito verso i banchi della frutta, attratto dalla bellezza delle mele qui presenti. Ignaro di come funzionano le cose nei nostri negozi, Bass8 prende una mela tra le mani e si chiede “Sarà più buona di quelle che coltiviamo noi per Ambrogio? Quasi quasi l’assaggio!” Detto, fatto, prende un coltellino e la divide in un istante in 4 parti perfettamente uguali. Ecco, fa così (prendiamo una mela ed imitiamo Bass8). Afferra una delle quattro parti e sta per portarla alla bocca, quando arriva un commesso incollerito che gli urla “Posi subito quella mela. Lei si è preso una mela!”. E Bass8, calmissimo: “ Guardi che non è vero, io non ho in mano una mela!” Il commesso: “Ah, no, eh! E quella cos’è, non è una mela?” “No, non è una mela!” risponde serafico il nostro amico.


Chi ha ragione, secondo voi e perché? Ascoltiamo cosa hanno da dire gli alunni, che, probabilmente, non si soffermeranno sull’aspetto matematico della faccenda. E allora li inviteremo noi a riflettere.
Come ha fatto Bass8 abbiamo già frazionato in 4 parti uguali la mela, ora prendiamo una delle parti ottenute, chiamiamo un alunno e diciamogli di scrivere con un numero la quantità che ho in mano.

Facciamo riflettere: posso scrivere 1? No, perché non è la mela intera. E’ stato stabilito un modo particolare di scrivere questo numero, perché per sapere quale parte di mela ho in mano devo sapere in quante parti è stata divisa e quante parti ho preso. Allora traccio una lineetta che significa che ho frazionato un intero, sotto scrivo il numero delle parti in cui ho frazionato l’intero e sopra la parte che ho considerato: leggo un quarto.





Prendiamo ora 2 parti della mela, poi 3 e 4 e chiediamo di scrivere la frazione corrispondente. Allora chi aveva ragione? Aveva ragione il commesso perché non si possono usare le merci esposte, ma aveva anche ragione Bassotto perché non aveva in mano una mela, ma ¼.
 


Frazioniamo altri oggetti in modi diversi ed ogni volta chiediamo qual è e come si scrive la frazione che rappresenta la parte che consideriamo.
Consegniamo ad ogni alunno un foglio intero, dividiamo a metà, a metà della metà, in ottavi.


Facciamo usare anche i regoli: prendiamo il regolo arancione. Quale regolo è ½ del regolo arancione? Quale regolo è 1/3 del blu? Quale è ¼ del marrone, quale è 1/6 del verde scuro?
Proponiamo ora un lavoro su scheda. Fai clic per stampare la scheda.




Prepariamo 9 dischetti di carta o cartoncino, già predisposti per essere suddivisi in parti uguali. Prendiamo il primo dischetto di carta, lo frazioniamo in 2 parti e ne prendiamo in mano una, chiamiamo un alunno e diciamo di scrivere con una frazione la quantità che consideriamo. Procediamo al medesimo lavoro anche con gli altri dischetti, frazionandoli in 3, 4, 5, ecc parti uguali. Se vuoi stampare i dischetti fai clic qui.

Parallelamente procediamo sul quaderno usando una scheda apposita, come questa.


Fai clic per stampare la scheda per l’esercizio degli alunni. Al termine osserviamo che le frazioni ½, 1/3, ¼, 1/5, ecc sono unità frazionarie perché indicano una sola delle parti ottenute frazionando un intero e che più aumenta la cifra del denominatore più diminuisce la parte considerata: ½ >1/3 >¼ > 1/5 > 1/10.
Proponiamo esercizi di confronto e di ordinamento di unità frazionarie.



Ecco un gioco da svolgere on line: topo affamato. L' obiettivo del gioco è di associare correttamente la rappresentazione numerica di una frazione con la sua rappresentazione grafica. In questo gioco sei nei panni di un topolino affamato che deve mangiare per crescere. Devi scegliere però la frazione corretta fra quelle proposte per avere la tua razione di formaggio. E' possibile avere frazioni con denominatore generato casualmente oppure specificarlo (da 4 a 10).

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Una lezione per Lim sulle frazioni di quantità continue
 
Ulteriori risorse dal Web

martedì 18 aprile 2017

I multipli del S.M.D. - classe terza

Matematica per gli insegnanti

Questo post è la continuazione del precedente, dedicato ai sottomultipli delle unità di misura.
Anche in questo caso io preferisco procedere in parallelo presentando insieme i multipli delle misure di lunghezza, capacità e massa. Naturalmente si può scegliere la strada di affrontare prima le misure di lunghezza, poi quelle di capacità e di massa separatamente.

Matematica per gli alunni

COMPETENZE
ABILITA’
UNITA’ DI APPRENDIMENTO
L’alunno utilizza i più comuni strumenti di misura.
Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, attraverso esperienze significative, che gli hanno fatto intuire come gli strumenti matematici siano utili per operare nella realtà
-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà:

effettuare misure dirette e indirette di grandezze ed esprimerle secondo unità di misura convenzionali e non; esprimere misure utilizzando multipli  e sottomultipli delle unità di misura.

Il decametro

Br1 e Bass8 però sono di fronte ad un nuovo problema: Ambrogio ha detto loro di misurare la lunghezza della stradina che dalla fattoria di Ambrogio porta alle stalle. I due cominciano: 1 m, 2m, 3 m, 4 m. E vanno avanti così ma ad un certo punto Br1 dice: “Basta, io non ce la faccio più, ho la schiena spezzata e non siamo ancora neanche a metà della stradina.” E Bass8: “Voglio il mio raggio laser!”
Come potrebbero fare i nostri due amici a misurare più in fretta? Facciamo distendere 10 fettucce da un metro: che cosa è questo? Un metro? No, una decina di metri. 


Presentiamolo intero con la rotella metrica. Proviamo ora a misurare, si impiega meno tempo,  perché invece di misurare 10 volte, si misura una volta sola. Come la chiamiamo? Si tratta di una decina (da) di metri (m), quindi dam, cioè decametro. Dove la posizioniamo: sono decine di metri, quindi alla sinistra dell’u, cioè del metro.
1dam =10 m     1 m = 0,1 dam

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Il decalitro 
Consideriamo ora 10 litri, otteniamo una misura 10 volte più grande del litro. Potrebbe essere la capacità di una tanica o di una piccola damigiana.
Come la chiamiamo? Si tratta di una decina (da) di litri (l), quindi dal, cioè decalitro. Dove la posizioniamo: sono decine di litri, quindi alla sinistra dell’u, cioè del litro.
1 dal =10 l     1 l = 0,1 dal

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Il decagrammo 
Se invece consideriamo un peso di 10 grammi, otteniamo una misura 10 volte più grande del grammo. Potrebbe essere il peso di 3 - 4 penne.
Come la chiamiamo? Si tratta di una decina (da) di grammi(g), quindi dag, cioè decagrammo. Dove la posizioniamo: sono decine di grammi, quindi alla sinistra dell’u, cioè del grammo.
1 dag =10 g     1 g = 0,1 dag

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L'ettometro 

Proviamo ora a misurare i confini del cortile della scuola, usando il decametro. Durante la misurazione chiediamo se si potrà avere una misura più lunga del decametro. Abbiamo precedentemente preso una decina di metri per formare un decametro, così possiamo prendere 10 decametri per formare una decina di decametri.
A questo punto ci siamo recati in passeggiata al parco urbano, dove c’è un percorso che, grazie ai numerosi podisti che lo frequentano, è già suddiviso in ettometri. Abbiamo portato la rotella del doppio decametro ed abbiamo evidenziato sul percorso 10 dam.
Quanti metri saranno? Proviamo a camminare sul percorso evidenziato per 100 m, cioè per 10 dam. Come viene chiamata questa misura?  
Si tratta di un centinaio (h) di metri (m), quindi hm, cioè ettometro. Dove la posizioniamo: sono centinaia di metri, quindi alla sinistra del decametro.
1 hm = 100 m   1 hm = 10 dam    1 m = 0,01 hm 
   
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L'ettolitro 
Consideriamo ora 100 litri, otteniamo una misura 100 volte più grande del litro. Potrebbe essere la capacità di una botte.
Come la chiamiamo? Si tratta di un centinaio (h) di litri (l), quindi hl, cioè ettolitro. Dove la posizioniamo: sono decine di decalitri, quindi alla sinistra del decalitro.
1 hl = 100 l   1 hl = 10 dal    1 l = 0,01hl

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L'ettogrammo 
Se invece consideriamo un peso di 100 g, otteniamo una misura 100 volte più grande del grammo. Potrebbe essere il peso di una confezione di prosciutto.
Come la chiamiamo? Si tratta di un centinaio (h) di grammi (g), quindi hg, cioè ettogrammo, comunemente abbreviato come etto. Dove la posizioniamo: sono decine di decagrammi, quindi alla sinistra dei decagrammi.

1 hg = 100 g   1 hg = 10 dag    1 g = 0,01hg

 
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Il chilometro 
 
C’è una misura dieci volte più grande dell’ettometro. E’ il chilo(mille)metro: quanti metri saranno? Sempre approfittando del parco urbano e dei suoi percorsi misurati dai podisti, compiamo una passeggiata lunga 1 km facendo notare gli ettometri che via via si percorrono.  Se suddividiamo i 1000 m in gruppi da 100 m, quanti ne otterremo? Allora possiamo dire che 1 km = 1000 m = 10 hm
E se dividiamo il chilometro in gruppi da 10 m, cioè in decametri, quanti ne otterremo?
Il chilometro è un migliaio (k) di metri (m), quindi lo abbrevieremo km, cioè chilometro. Dove lo posizioniamo: sono decine di ettometri, quindi alla sinistra degli ettometri. 
Allora possiamo dire che 1 km = 10 hm = 100 dam = 1000 m

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Il chilogrammo 
Naturalmente lo stesso discorso potremo fare a proposito delle misure di massa. I bambini conoscono già il chilogrammo, perché se ne è parlato a proposito delle unità di misura. Può essere il peso di un pacco di sale, di zucchero o di farina.
Il chilogrammo è un migliaio (k) di grammi (g), quindi lo abbrevieremo kg, cioè chilogrammo. Dove lo posizioniamo: sono decine di ettogrammi, quindi alla sinistra degli ettogrammi. 
Allora possiamo dire che 1 kg = 10 hg = 100 dag = 1000 g


Anche in questo caso propongo un gioco on line.

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