Probabilità e percentuali - classe quinta

Sappiamo già dalla riflessione su precedenti attività che ci sono eventi certi, eventi impossibili ed altri invece incerti.

La probabilità è la parte della matematica che studia gli eventi incerti.

Mettiamo in un contenitore un foglietto con i nomi degli alunni: 10 maschi e 16 femmine. Vogliamo sorteggiare chi sarà il capoclasse della settimana. E’ certo che sarà una femmina? E' certo che sarà un maschio? Siamo di fronte ad un evento incerto. Non sappiamo con certezza se il nome che estrarremo apparterrà ad una femmina o ad un maschio ma è più probabile che io estragga il nome di una femmina o di un maschio? E' più probabile estrarre un nome femminile perché le possibilità sono 16 su 26, mentre la probabilità di estrarre un nome maschile sono 10 su 26.

La probabilità che si verifichi un evento è data dal rapporto tra casi favorevoli e casi possibili.

Mettiamo in un sacchetto alcune palline dell’abaco: 12 su 20 sono gialle, 8 su 20 sono rosse.

E’ certo che Sara estrarrà una pallina rossa?

E’ certo che Sara estrarrà una pallina gialla?

E’ più probabile che Sara estragga una pallina gialla o una pallina rossa? Perché?

Che probabilità ha Sara di estrarre una pallina gialla?

12 su 20 perché i casi favorevoli sono 12 mentre le possibilità totali sono 20.

Che probabilità ha Sara di estrarre una pallina rossa?

8 su 20 perché i casi favorevoli sono 8 mentre le possibilità totali sono 20.

Possiamo indicare la probabilità anche usando le frazioni e le percentuali. 
Per le palline gialle:

Per le palline rosse:

Proseguiamo con attività simili: un sacchetto contiene 25 palline, di cui 11 sono gialle e 14 rosse.

In una scatola ci sono 21 dolciumi: 9 sono caramelle, 12 sono cioccolatini.

Un sacchetto con i numeri da 1 a 15.

Prendiamo e lanciamo un dado da gioco. I casi possibili sono 6. Quante probabilità che esca:

l’1? 1/6 (possibile)

il 2? 1/6 (possibile)

il 3? 1/6 (possibile)

il 4? 1/6 (possibile)

il 5? 1/6 (possibile)

il 6? 1/6 (possibile)

il 2 o il 3? 2/6 (possibile)

un numero tra 1 e 6? 6/6 (certo)

il 7? 0 (impossibile)

un numero dispari? 3/6 (possibile)

Ecco una scheda di esercitazione: fai clic per stamparla.

Per concludere propongo una scheda con esercizi tratti da precedenti prove Invalsi: fai clic per stamparla.

Una lezione per Lim su probabilità e percentuali

Una verifica scritta da stampare

Ulteriori risorse dal Web

Vedi U. A. di riferimento

Area del romboide, del rombo e del trapezio - classe quinta

Distribuiamo agli alunni due romboidi eseguiti sulla carta centimetrata: fai clic per stampare la scheda.
Ritagliamo il primo romboide ed incolliamolo sul quaderno. Notiamo che non è semplice stabilire quanti cm² misura la sua superficie. Possiamo però osservare che la base misura 7 cm e l'altezza 4 cm.

Consideriamo allora il secondo romboide che constatiamo essere congruente e quindi equivalente al primo ed operiamo questa trasformazione: ritagliamo il secondo romboide e lo trasformiamo in un rettangolo.

Dopo la trasformazione abbiamo ottenuto un rettangolo equiesteso che ha la stessa base (7 cm) e la stessa altezza (4 cm) del romboide, quindi se troviamo l’area del rettangolo troviamo anche l’area del romboide. Nel nostro caso 7 x 4 = 28 cm²  

Ne deriva che:

Realizziamo un algoritmo per il calcolo dell’area del romboide.

A questo punto della lezione propongo una mia presentazione in PowerPoint: fai clic per scaricarla e la faccio seguire da una scheda come la seguente: fai clic per stamparla.

Risolviamo insieme questo problema:
"Da un campo a forma di romboide con la base di 63 m e l’altezza di 24 m un contadino ha ricavato 0,65 kg di foraggio per ogni mq. Quanto ricava il contadino dalla vendita del foraggio se per ogni kg riceve € 1,50?"
Proponiamo la risoluzione individuale di altri problemi. Ad esempio:
"Calcola l'area di un romboide che ha la base di 180 cm e l'altezza uguale ai 3/4 della base."
"Da un cartellone rettangolare che ha la base di 8 dm e l'altezza di 6,5 dm vendono ricavati 15 piccoli romboidi con la base di 13 cm e l'altezza di 8,6 cm. Qual è la superficie del cartellone che avanza?"
---------------------------------------------------------------------------------------------
Distribuiamo agli alunni due rombi eseguiti sulla carta centimetrata: fai clic per stampare la scheda.
Ritagliamo il primo rombo ed incolliamolo sul quaderno. Notiamo che non è semplice stabilire quanti cm² misura la sua superficie. Possiamo però osservare che la diagonale maggiore misura 6 cm e la diagonale minore 4 cm.

Consideriamo allora il secondo rombo: esso è congruente e quindi equivalente al primo. Operiamo questa trasformazione:

Abbiamo ottenuto un rettangolo che ha la base lunga come la diagonale maggiore (6 cm) e l'altezza lunga come la diagonale minore (4 cm): osserviamo che la superficie del rombo è la metà della superficie del rettangolo.
L'area del rettangolo (6 x 4 = 24 cm²) corrisponde al doppio dell'area del rombo, quindi l'area del rombo sarà (6 x 4) : 2 = 12 cm²
Ne consegue che

Realizziamo un algoritmo per il calcolo dell’area del rombo.  

Suggerisco una mia presentazione in PowerPoint: fai clic per scaricarla.
Anche per il rombo propongo una scheda sul calcolo di area e perimetro: fai clic per stamparla. 

Risolviamo insieme questo problema:
"Un bambino vuole costruire 2 aquiloni a forma di rombo con le diagonali di 90 cm e 70 cm. Quanto costa costruire gli aquiloni con carta colorata che viene venduta ad € 2,50 al m²?"    
Proponiamo la risoluzione individuale di altri problemi. Ad esempio:
"Calcola l'area di un rombo che ha la diagonale maggiore di 80 cm e la diagonale minore pari ai 3/4 di quella maggiore".
"Un giardino a forma di rombo ha le diagonali di 82 e 46 m. Al centro vi è una piazzetta quadrata con il lato di 15 m. Calcola l'area della parte verde del giardino."
"In un giardino rettangolare è stata costruita una pista di pattinaggio a forma di rombo. Sapendo che AB = 114 m e BC = 57 m, calcola l'area del prato."

---------------------------------------------------------------------------------------------

Distribuiamo agli alunni due trapezi eseguiti sulla carta centimetrata: fai clic per stampare la scheda.
Evidenziamo in colore blu la base maggiore ed in colore rosso la base minore di entrambi i trapezi.
Ritagliamo il primo trapezio ed incolliamolo sul quaderno. Anche stavolta ci accorgiamo che non è semplice stabilire quanti cm² misura la sua superficie. Possiamo però osservare che la base maggiore misura 8 cm e la base minore 4 cm, mentre l'altezza misura 3 cm.
Consideriamo allora il secondo trapezio: esso è congruente e quindi equivalente al primo. Ritagliamo anche il secondo trapezio ed incolliamolo vicino al primo in modo da formare un romboide.

Notiamo che otteniamo un romboide formato da due trapezi congruenti, con la superficie doppia di quella del trapezio. Quindi se troviamo l’area del romboide troviamo l’area di due trapezi.
Notiamo anche che la base del romboide corrisponde alla somma delle due basi del trapezio, mentre l'altezza è uguale. Possiamo quindi stabilire che:

Realizziamo un algoritmo per il calcolo dell’area.

Suggerisco anche per il trapezio una mia presentazione in PowerPoint: fai clic per scaricarla.
Anche per il trapezio propongo una scheda sul calcolo di area e perimetro: fai clic per stamparla. 
Risolviamo insieme questo problema:
"Un terreno a forma di trapezio ha la base maggiore di 850 m, la base minore è la metà della base maggiore e l'altezza è di 260 m. Quanti ettari misura il terreno?"

Anche in questo caso proponiamo la risoluzione individuale di altri problemi. Ad esempio:
"Un giardino a forma di trapezio ha le basi di 70 m e 40 m e l'altezza di 320 dm. Quanti m² misura il giardino?"
"Vogliamo ricoprire una parete rettangolare (dimensioni 1,5 m per 2 m) con piastrelle a forma di romboide che hanno la base di 20 cm e l'altezza di 5 cm. Quante piastrelle serviranno?"
"Un trapezio scaleno ha la base maggiore che misura 156 m, la base minore di 98 m e l'altezza che misura la metà della base minore. Calcola l'area del trapezio."

Una lezione per Lim sul concetto di area (classe quarta)

Una presentazione in PowerPoint sull'area del romboide

Una presentazione in PowerPoint sull'area del rombo

Una presentazione in PowerPoint sull'area del trapezio

Un test/gioco on line per i tuoi alunni

Una verifica scritta da stampare

Ulteriori risorse dal Web

Vedi U. A. di riferimento 

Misurare il tempo - classe quinta

Perché è necessario misurare il tempo?

Parliamo con gli alunni sul concetto di tempo e focalizziamo il fatto che le durate temporali da noi avvertite sono soggettive: un'esperienza piacevole sembra durare sempre poco mentre esperienze noiose o dolorose sembrano non finire mai. Non siamo quindi delle buone unità di misura per misurare le durate temporali. Occorrono altre unità di misura che gli alunni peraltro già conoscono.

L’unità di misura del tempo è il secondo (s o ")

Le  misure di tempo non seguono il sistema decimale, ma hanno fra di loro dei rapporti che variano da una misura all’altra.

Ci sono altre equivalenze che possiamo considerare:

7 giorni = 1 settimana

365 giorni = 1 anno

5 anni = 1 lustro

10 anni = 1 decennio

100 anni = 1 secolo

1 000 anni = 1 millennio

Proviamo, con l'aiuto dello schema presentato sopra, a completare queste equivalenze. 
Esempio: 3 h = ......... m
Si vede dallo schema che per trasformare da h a m bisogna moltiplicare per 60.
Quindi 3 h = 3 x 60 = 180 m

2 h = ………………………. m	4 m = ……………………... s	1 h e mezzo = …………………… m
2 m = ……………………... s	3 h = ……………………... m	1 m e mezzo = …………………… s
2 d = ……………………... h	1 d = ……………………... h	1 d + 12 h = ……………………….. h
1 h + 30 m = ………………….. m	160 s = ………… m + …………. s	10 m = …………………………. s

Completiamo altre uguaglianze

2 giorni = ………. ore = ………… minuti	24 ore = ………. minuti = ………… secondi
10 800 secondi = ………. minuti = ……… ore	4 …………. = 240 minuti
180 …………. = 3 minuti	3 …………. = 72 ore
36 mesi = ………. anni	3 millenni = ………. secoli
7 secoli = ………. anni	5 settimane = ………. giorni
10 anni = ………. mesi	8 mesi = ………. giorni
100 secoli = ………. millenni	200 anni = ………. decenni = …….. lustri

Proponiamo agli alunni la seguente situazione problematica:
"Emma la scorsa estate è andata in vacanza ai Caraibi. Il volo di andata è durato 8 ore e 50 minuti, quello di ritorno 9 ore e 38 minuti: Qual è stata la durata complessiva dei due voli?"
Probabilmente ci sarà qualche alunno che risponderà correttamente, ma è probabile anche che ci siano altri bambini in difficoltà. Proponiamo allora di eseguire il calcolo in colonna. Come potremmo fare? Suggeriamo una strategia.

Proponiamo altre addizioni con le misure di tempo, da eseguire insieme.

Alcune addizioni per il lavoro individuale:

Naturalmente affrontiamo anche situazioni che richiedano l'uso della sottrazione con le misure di tempo.
"Un treno giunge in stazione alle 23:05:12; se il viaggio è durato 1:50:22 a che ora è partito il treno?"

Svolgiamo altri esempi insieme e, successivamente, individualmente.

Proponiamo anche alcune piccole situazioni problematiche:
"Un aereo è decollato dall'aeroporto alle 8,30 ed è atterrato alle 11,10. Quanti minuti è durato il volo?" [sol. 160 min]
"Un treno che doveva giungere in stazione alle 15,42 ha 45 minuti di ritardo. A che ora arriverà alla stazione?" [sol. 16,27]

Infine concludiamo l'attività con una scheda contenente esercizi tratti da precedenti prove Invalsi: fai clic per stamparla.

Vedi U. A. di riferimento