La proprietà invariantiva della divisione - classe terza

Matematica per gli insegnanti

Dividendo due numeri appartenenti ad N, il quoziente è un numero appartenente ad N solo se il dividendo è uguale o multiplo del divisore, negli altri casi non troviamo in N il quoziente. Possiamo dunque dire che la divisione non è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è aperto rispetto alla divisione.

La divisione gode della proprietà:

·        Invariantiva: in una divisione il quoziente tra due numeri non cambia se dividiamo o moltiplichiamo sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero, diverso da zero.

Es.: 252 : 9 = 28

(252 : 3) : (9 : 3) =

84 : 3 = 28

(84 x 5) : (3 x 5) = 420 : 15 = 28

·        Distributiva: dividendo una somma o una differenza per un numero, si può dividere ciascun termine della somma o della differenza per quel numero e poi aggiungere o sottrarre i quozienti così ottenuti.

Es.: (32 + 12) : 4 = 44 : 4 = 11 ma anche

(32 : 4) + (12 : 4) = 8 + 3 = 11

(30 – 20) : 5 = 10 : 5 = 2 ma anche

(30: 5) – (20 : 5) = 6 – 4 = 2

In terza io mi limito a presentare la proprietà invariantiva della divisione.

Matematica per gli alunni

COMPETENZE	ABILITA’	UNITA’ DI APPRENDIMENTO
L’alunno si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali e sa valutare l’opportunità di ricorrere a una calcolatrice. Sviluppa un atteggiamento positivo rispetto alla matematica, attraverso esperienze significative, che gli facciano intuire come gli strumenti matematici che ha imparato ad utilizzare siano utili per operare nella realtà.	-  Al termine della classe terza l'alunno dovrà: eseguire mentalmente semplici operazioni con i numeri naturali e verbalizzare le procedure di calcolo; applicare la proprietà invariantiva della divisione per facilitare il calcolo orale e mentale	Unità n° 5: La pianura

PERCORSO DIDATTICO

Abbiamo già visto, completando la tabella della divisione, che questa operazione non gode della proprietà commutativa. Proponiamo ora alcune situazioni – problema che ci guidino alla scoperta della proprietà invariantiva della divisione.

Ad una scuola calcio partecipano 20 bambini; si formano squadre da 5 bambini. Quante squadre si formano?
20 : 5 = 4
Alcuni mesi dopo il numero di bambini partecipanti è raddoppiato passando quindi a 40 bambini e si raddoppia anche il numero di bambini in ogni squadra che diventano 10. Quante squadre si possono formare ora?
40 : 10 = 4

Ieri erano presenti all’allenamento di pallavolo 24 bambini che l’allenatore ha riunito a gruppi di 4. Quanti gruppi?
24 : 4 = 6
Oggi sono presenti metà dei bambini di ieri e l’allenatore ha formato gruppi con metà dei bambini di ieri. Quanti gruppi?
12 : 2 = 6

Che cosa osserviamo? Lasciamo che gli alunni esprimano le loro osservazioni e sintetizziamole, successivamente, dicendo che la proprietà invariantiva della divisione afferma che se si moltiplica o divide per lo stesso numero entrambi i termini della divisione, il risultato non cambia.

Rivediamo anche la differenza tra la proprietà invariantiva della sottrazione e quella della divisione.

Sintetizziamo in una scheda le proprietà delle operazioni. Fai clic per stampare la scheda.

Proponiamo ed eseguiamo insieme alcuni esercizi alla lavagna.





Una prima fase del lavoro individuale vedrà gli alunni impegnati ad applicare la proprietà invariantiva sulla base delle indicazioni da noi fornite, saremo noi cioè ad indicare per quali numeri moltiplicare o dividere; in seguito saranno gli alunni stessi a scegliere per quali numeri vorranno moltiplicare o dividere. Bisogna prestare particolare attenzione a quando si divide, perchè sarà necessario scegliere un numero per cui sia divisibile sia il dividendo che il divisore. Dobbiamo quindi aver cura di proporre divisioni in cui sia abbastanza facile capire qual è un divisore comune.

Ecco un mio quiz da svolgere on line.




Una verifica scritta dell'U. a. da stampare

Un test sui contenuti dell'unità n° 5: la divisione

Divisioni in colonna (parte 2) - classe terza

Proseguiamo il lavoro sulle divisioni in colonna, iniziato e descritto nel post precedente, dove abbiamo affrontato tutti i casi delle divisioni con due cifre al dividendo ed una cifra al divisore. Ormai gli alunni dovrebbero aver acquisito, in grande maggioranza, la padronanza delle sequenze operative per eseguire correttamente le divisioni in colonna: si tratta quindi ora semplicemente di sfruttare queste capacità per affrontare divisioni con numeri maggiori. Molto importante è comunque continuare a dedicare particolare attenzione a quegli alunni ancora in difficoltà, chiamandoli spesso alla lavagna ed offrendo loro situazioni molto graduali da affrontare.
La difficoltà successiva e quindi l'attività di oggi riguarda le divisioni con tre cifre al dividendo ed una cifra al divisore, considerando inizialmente una sola cifra del dividendo.
Partiamo anche stavolta da una situazione problematica.
La scuola ha acquistato 4 piccole stampanti spendendo in totale € 574. Qual è il costo di ogni stampante?
Eseguiamo concretamente con i regoli e parallelamente all'attività concreta eseguiamo l’operazione con i simboli.
Eseguiamo poi insieme operazioni con difficoltà analoghe: 990: 9 (senza resti parziali e totali) - 628 : 4 (esatta ma con resti parziali) - 458 : 3 (con resto) - 736 : 7 (con resto e con seconda cifra del quoziente uguale a zero).
Procediamo quindi al lavoro individuale.

Per scoprire la soluzione dell’indovinello, esegui le operazioni in colonna e trascrivi le lettere corrispondenti ai risultati.
Che cosa ci fa un'ape al bar?
930 : 3 =  E
648 : 3 = O
884 : 4 = A
573 : 5 = I
912 : 7 = V
537 : 2 = I
738 : 4 = P
649 : 5 = T
625 : 6 = R

Appurato che gli alunni agiscano con sicurezza a questo livello di difficoltà, si potrà procedere alla fase successiva del lavoro che prevede divisioni con tre cifre al dividendo, in cui occorre però considerare le prime due cifre.
Ad esempio dobbiamo eseguire 105 : 4
Eseguiamo concretamente con i regoli in modo da evidenziare il cambio da centinaia a decine e, conseguentemente, la necessità di considerare le prime due cifre del dividendo, vista l’impossibilità di dividere un piatto del multibase per 4.

Eseguiamo poi l’operazione con i simboli.

Eseguiamo sempre insieme alla lavagna operazioni dello stesso tipo: 218 : 7 - 239 : 4 - 587 : 8 e poi procediamo al lavoro individuale.

 

Possiamo, a questo punto, affrontare l'ultima difficoltà che consiste in divisioni con il dividendo di 4 cifre. Ormai gli alunni dovrebbero padroneggiare la tecnica, per cui possiamo procedere ad esemplificazioni collettive alla lavagna avendo cura di affrontare casi in cui occorre considerare una o due cifre del dividendo: 3 718 : 9 - 2 036 : 6 - 3 242 : 6 - 1 215 : 5
Se appuriamo che gli alunni riescono senza eccessive difficoltà a risolvere questo tipo di divisioni, proponiamo calcoli da eseguire a livello individuale.

Una verifica scritta da stampare

Un test/gioco on line per i tuoi alunni

Una presentazione in Power Point con i vari casi della divisione in colonna

Ulteriori risorse dal Web

Divisioni per 10, 100 e 1000 - classe terza

Affronteremo l'argomento limitandoci per ora ai casi di numeri in cui sia possibile togliere gli zeri, lasciando gli altri casi a quando avremo affrontato i numeri decimali.

Bruno e Bassotto sono sempre nella grande città, stupiti dalla quantità di vie di comunicazione presenti: strade, autostrade, ferrovie, metro, ecc. Oggi si sono recati vicino all’autostrada ed assistono al transito di numerosi mezzi al casello del pedaggio autostradale. Naturalmente i due ne approfittano per fare qualche calcolo. Ci sono 30 auto incolonnate in parti uguali a 10 caselli. Quante auto per ogni casello?

Naturalmente sappiamo già il risultato: 30 : 10 = 3 perché 3 x 10 = 30.

Registriamo anche sul quaderno usando la tabella.

Osserviamo che la cifra 3 si sposta di un posto verso destra.

Proviamo a fare la stessa cosa con un'altra divisione. Osserviamo che anche in quest'altro caso accade la medesima cosa.

Proviamo ora a rappresentare in tabella altre divisioni per 100 e per 1000. Che cosa notiamo?

Possiamo concludere che quando si divide per 10, 100 e 1000, le cifre diminuiscono il loro valore spostandosi a destra di 1, 2, 3 posizioni.
In altre parole, se è possibile, dividendo per 10, 100 e 1000 si dovranno togliere rispettivamente 1, 2, 3 zeri.
Proponiamo un esercizio

 Ecco anche una scheda con tabelle e macchine da completare. Fai clic per stampare la scheda.

Una verifica scritta da stampare

Un test/gioco on line per i tuoi alunni

Una presentazione in Power Point con i vari casi della divisione in colonna

Ulteriori risorse dal Web