Multipli, divisori, numeri primi - classe quinta

Anche questo argomento è già stato affrontato in classe quarta, quindi lo rivedremo in modo veloce. Supernumero ci aiuterà a ricordare ed ampliare alcuni concetti.

I multipli di un numero sono il risultato di ogni possibile moltiplicazione per quel numero. I multipli di un numero sono infiniti.

Se un numero è multiplo di un altro è anche divisibile per quest’altro numero.

I divisori di un numero sono quelli che lo dividono esattamente, senza resto. I divisori sono finiti.

Ad esempio: 

24 è multiplo e quindi divisibile per 8; 8 è un divisore di 24. Quali saranno gli altri divisori di 24?

24 è divisibile per 1? Sì, 1 è un divisore di 24.

24 è divisibile per 2? Sì, 2 è un divisore di 24.

24 è divisibile per 3? Sì, 3 è un divisore di 24.

24 è divisibile per 4? Sì, 4 è un divisore di 24.

24 è divisibile per 5? No.

24 è divisibile per 6? Sì, 6 è un divisore di 24.

24 è divisibile per 7? No.

24 è divisibile per 8? Sì, 8 è un divisore di 24.

24 è divisibile per 9? No.

24 è divisibile per 10? No.

24 è divisibile per 11? No.

24 è divisibile per 12? Sì, 12 è un divisore di 24.

24 è divisibile per 24? Sì, 24 è un divisore di 24.

Proponiamo alcuni esercizi.

Propongo l'esecuzione di una scheda: fai clic per stamparla.

E' semplice capire che 99 è divisibile per 3, ma come facciamo a capire se 324.567 è divisibile per 3? Certo, possiamo eseguire la divisione.

In alcuni casi tuttavia ci sono criteri rapidi per riconoscere se un numero è divisibile per un altro, senza effettuare la divisione; sono detti criteri di divisibilità. Vediamo i principali criteri di divisibilità.

Proponiamo un esercizio come il seguente

Vediamo ora di trovare i divisori di 15. Sono: 1, 3, 5, 15
I divisori di 13 invece sono: 1, 13

I numeri come 13, che si possono dividere solo per uno e per se stessi, si dicono numeri primi.
Esiste uno strumento, già visto lo scorso anno, che ci permette di individuare i numeri primi entro 100. Si chiama crivello di Eratostene e funziona così. Fai clic per stamparlo.

Iniziamo a proporre agli alunni, lavorando collettivamente, la scomposizione in fattori primi.
Ogni numero può essere scritto come prodotto di fattori primi. Per individuare quali sono i fattori primi di un numero ci aiuta la scomposizione in fattori primi: si tratta di divisioni successive in cui ogni risultato ottenuto deve essere diviso ogni volta per il divisore primo minore sino ad arrivare ad uno. Eseguiamo insieme

Vediamo altri esempi insieme.

Un test/gioco on line per i tuoi alunni

Una lezione per Lim Smart su multipli, divisori e numeri primi

Ulteriori risorse dal Web

Vedi U. A. di riferimento

Esercizi sui grandi numeri - classe quinta

In questi primi mesi dell'anno scolastico abbiamo imparato a conoscere il periodo dei milioni e dei miliardi, il significato delle potenze, con particolare attenzione alle potenze del 10, abbiamo effettuato la scomposizione polinomiale. E' dunque il momento di proporre ulteriori esercitazioni per migliorare la conoscenza della struttura e del valore posizionale delle cifre nei grandi numeri. Cominciamo cercando di potenziare le capacità di lettura e scrittura dei numeri.

Lettura e scrittura

Scriviamo 7, 8 cifre alla lavagna ed invitiamo gli alunni a formare il numero maggiore possibile con le suddette cifre, facciamo evidenziare i periodi lasciando uno spazio tra le cifre e rivedendo le possibili abbreviazioni (k per il periodo delle migliaia, M per il periodo dei milioni, G per il periodo dei miliardi), facciamo leggere i numeri ricordando agli alunni che al termine della classe dei miliardi devono dire la parola "miliardi", al termine del periodo dei milioni la parola "milioni", al termine del periodo delle migliaia la parola "mila".
Proponiamo poi una scheda come la seguente: fai clic per stamparla.

Composizione e scomposizione

Gli alunni conoscono ormai vari modi per scomporre un numero. Consideriamo, ad esempio, il numero 304 560 745 324.

Possiamo scomporlo indicando il valore delle cifre:
3 hG, 4 uG, 5 hM, 6 daM, 7hk, 4 dak, 5 uk, 3h, 2 da, 4u

Possiamo scomporlo anche così:

(3 x 100 000 000 000) + (4 x 1 000 000 000) + (5 x 100 000 000) + (6 x 10 000 000) + (7 x 100 000) + (4 x 10 000) + (5 x 1 000) + (3 x 100) + (2 x 10) + (4 x 1)

Più facilmente possiamo scomporlo in polinomio numerico:

(3 x 10¹¹) + (4 x 10⁹) + (5 x 10⁸) + (6 x 10⁷) + (7 x 10⁵) + (4 x 10⁴) + (5 x 10³) + (3 x 10²) + (2 x 10¹) + (4 x 10⁰)

Proponiamo qualche esercitazione agli alunni (in questo caso ho fatto utilizzare il secondo modo illustrato sopra, per la presenza anche di numeri decimali).

Molta attenzione dovremo fare nei casi di composizione del numero, proponendo diverse attività per favorire la comprensione del fatto che bisogna aggiungere gli zeri mancanti. Per gli alunni con maggiori difficoltà si può proporre l'uso di una tabella in cui inserire le cifre.

Confronto

Chiediamo agli alunni: "E' maggiore 14,6 o 14,599?" Perché? Ascoltiamo le loro risposte ed approfittiamone per rivedere alcune regole per confrontare i numeri (decimali):

- confrontare la parte intera (il numero che ha la parte intera maggiore è maggiore)

- se la parte intera è uguale, confrontare i decimi (il numero che ha la cifra maggiore ai decimi è il maggiore)

- se i decimi sono uguali, confrontare i centesimi ed infine i millesimi.

Per favorire tutto ciò, si può benissimo pareggiare le cifre decimali, in modo che il confronto risulti più evidente.

Ritornando all'esempio precedente, avremo: 14,600 > 14,599

Proponiamo alcuni esercizi.

Precedente e successivo

Vediamo insieme come trovare il precedente ed il successivo di 899 999, 209 099 999, 3 000 000 000, 599 999 990. Cosa succede aggiungendo o togliendo una unità a questi numeri? Possiamo usare l'abaco, reale o disegnato, ed invitare poi gli alunni ad elaborare strategie idonee.

Proponiamo successivamente una scheda, come la seguente: fai clic per stamparla.

Ordinamento

Proponiamo una tabella come la seguente e facciamo completare le attività indicate.

	SUPERFICIE	POPOLAZIONE
Valle d’Aosta	3 263	123 000
Liguria	5 421	1 592 000
Piemonte	25 399	4 330 000
Lombardia	23 861	9 393 000
Trentino Alto Adige	13 607	975 000
Friuli Venezia Giulia	7 855	1 205 000
Veneto	18 391	4 700 000
Emilia Romagna	22 124	4 151 000

• Metti in ordine crescente le regioni, secondo la superficie
• Metti in ordine crescente le regioni, secondo la popolazione
• Qual è la regione più estesa?
• Qual è la regione più popolata?
• Quali sono le regioni che superano i 4 milioni di abitanti?
• Quali sono le regioni con una superficie inferiore a 10 000 kmq?

Propongo ora una scheda con attività tratte da alcuni testi operativi

Numerazioni

Proponiamo anche attività di numerazione, sia oralmente che scritte.

Propongo infine una scheda con esercizi tratti da precedenti prove Invalsi: fai clic per stamparla.

Una verifica scritta da stampare

Vedi U. A. di riferimento

Le unità di misura delle superfici - classe quinta

Cominciamo col porre alcune domande agli alunni: 
"Che cos'è una superficie? E' maggiore la superficie del banco o quella della cattedra? Qual è la superficie minore tra quella del quadernone e quella del diario? E' maggiore la superficie del quaderno di Elisa o quella del quaderno di Alice?"
Quest'ultimo caso ci darà la possibilità di affermare che le figure con la stessa estensione si dicono equiestese o equivalenti.
Disegniamo alla lavagna e sul quaderno due figure congruenti: sono anche equivalenti? Vedendo anche altri esempi giungiamo ad affermare che, se due figure sono congruenti, sono anche equivalenti.

Disegniamo poi due figure equivalenti ma non congruenti. Sono congruenti? Sono equivalenti? Le figure equivalenti possono anche non essere congruenti.

Disegniamo infine due figure come quelle che vedi (figure E ed F). Sono congruenti? Sono equivalenti? Le due figure non sono congruenti e non sono equivalenti.

A questo punto propongo alcuni esercizi per favorire la capacità degli alunni di individuare coppie di figure equivalenti.

Come si fa a misurare una superficie? Ricordiamo che misurare una superficie significa vedere quante volte una superficie campione è contenuta nella superficie da misurare. Di quale forma sarà la superficie campione? Qual è la forma della superficie più adatta per ricoprire altre superfici?

Ascoltiamo le risposte dei nostri alunni, senz'altro ci sarà chi individua il quadrato come forma più idonea.  

Distribuiamo allora ad ogni coppia di bambini 2 quadrati di diverse dimensioni (un bambino avrà un quadrato con il lato di 10 cm e l’altro un quadrato con il lato di 7 cm ed usiamolo per misurare la superficie del banco). Noteremo risultati diversi e quindi la necessità di un’unità di misura convenzionale uguale per tutti.

L'unità di misura delle superfici è un quadrato con i lati lunghi un metro, si chiama metro quadrato e si indica con m². Realizziamo il metro quadrato usando un cartellone murale e disponiamolo sul pavimento. Chiediamo agli alunni di indicare superfici maggiori o minori del metro quadrato.

Evidenziamo poi la necessità di un'unità di misura più piccola del metro quadrato. Quale potrà essere? Quale sarà la forma? Certo, sarà un quadrato e la grandezza sarà di un dm per ogni lato. Allo stesso modo presentiamo il centimetro quadrato ed il millimetro quadrato.

Utilizziamo ora un foglio di carta millimetrata. Per stamparlo puoi fare clic su questo link: https://secondabgp.files.wordpress.com/2010/12/carta-millimetrata-a4.pdf

Disegniamo e coloriamo il dm², il cm² ed il mm² sulla scheda.

Utilizzando i decimetri quadrati che puoi stampare qui proviamo a ricoprire la base e l'altezza del metro quadrato.  Capiremo così che in un metro quadrato ci sono 100 decimetri quadrati, quindi 1 m² = 100 dm².

Facciamo la stessa cosa con i centimetri quadrati che puoi stampare qui, ricoprendo base ed altezza del decimetro quadrato. Notiamo che in un decimetro quadrato ci sono 100 centimetri quadrati, quindi 1 dm² = 100 cm², 1 m² = 10 000 cm².

Notiamo infine che in un centimetro quadrato ci sono 100 millimetri quadrati, quindi 1 cm² = 100 mm², 1 dm² = 10 000 mm², 1 m² = 1000000 mm². Osserviamo anche la differenza con le misure lineari.

Propongo un lavoro riassuntivo sui sottomultipli del m²

A questo punto gli alunni non avranno difficoltà a capire quali saranno i multipli del m².
Proviamo quindi a costruire la tabella delle misure di superficie, chiedendo per ogni misura a quanti metri quadrati corrisponde, cioè quante volte la misura è più grande o più piccola rispetto al metro quadrato.

Noteremo che ogni misura di superficie è 100 volte più piccola della precedente a sinistra e 100 volte più grande della seguente a destra.

Siccome segue la base 100, ogni misura di superficie si esprime con due cifre, quella delle decine e quella delle unità. 

Dopo aver fatto compiere alla lavagna esercitazioni, propongo l'esecuzione di tre schede: fai clic per stampare la prima.

Fai clic per stampare la seconda.

Ed ecco una terza scheda con esercizi tratti dalle prove Invalsi degli anni precedenti: fai clic per stamparla.

Una lezione per Lim Smart sulle misure di superficie

Un test/gioco on line per i tuoi alunni

Una verifica scritta da stampare

Ulteriori risorse dal Web

Vedi U. A. di riferimento

Scomposizione di numeri in forma polinomiale - classe quinta

Considerato che il nostro sistema di numerazione è decimale, le potenze del 10 sono utili per la scomposizione dei numeri.
Consideriamo un esempio. La popolazione dell’Italia è di 59 464 644 abitanti. Proviamo a scomporre in modi diversi questo numero.

Quando un numero è scomposto nelle potenze di 10 prende il nome di polinomio numerico.

Proviamo ora il percorso inverso: ecco il polinomio che rappresenta la popolazione della Grecia. Calcoliamone il valore.

Eseguiamo insieme alcune attività dei due tipi.

Scomponiamo numeri in polinomi numerici.

 Calcoliamo il valore numerico

Proponiamo, come lavoro individuale, la seguente scheda: fai clic per stamparla.

Una verifica scritta da stampare

Vedi U. A. di riferimento

Certo, possibile, probabile, impossibile - classe quinta

Supernumero, Oca Roca, Bruno e Bassotto si sono incontrati per parlare di noi ed invece, come spesso accade, hanno finito col parlare dei fenomeni meteorologici. Chi di loro, secondo voi, ha sicuramente ragione? Perché?

Facciamo completare in modo corretto alcuni enunciati.

Propongo una scheda da stampare: fai clic qui.

Vedi U. A. di riferimento

Proprietà della moltiplicazione e della divisione - classe quinta

Iniziamo col considerare la moltiplicazione, ripassando i suoi termini.
Se in classe gli alunni sono 26 e se ogni alunno deve versare 12 euro alla scuola per l'assicurazione ed altre spese, quale sarà la quota che si raccoglierà?
Dovremo eseguire la moltiplicazione 26 x 12. Dopo averlo fatto, vediamo se gli alunni ricordano i nomi dei termini dell'operazione.

Consideriamo ora la divisione.
Se in una classe sono stati raccolti in totale € 312 per l'assicurazione ed altre spese e gli alunni che hanno pagato sono 26, quanto ha versato ogni alunno?

Ripassiamo anche le proprietà della moltiplicazione e della divisione, già studiate ed applicate negli anni precedenti, completando collettivamente una tabella come la seguente (la seconda scheda contiene un esempio di ciò che si può scrivere): fai clic per stamparla.

Chi ha la possibilità di usare il computer o la Lim potrebbe anche proporre le attività che si trovano a questo link ( moltiplicazione in formato Excel) o a questo (divisione in Excel).
Dopo aver ripassato insieme le proprietà della moltiplicazione, proponiamo esercizi di applicazione come i seguenti, con l'obiettivo di facilitare e rendere più veloce il calcolo in riga e mentale. 
Applica la proprietà commutativa ed associativa, come nell'esempio:
5 x 7 x 2 = 5 x 2 x 7 = (5 x 2) x 7 = 10 x 7 = 70
25 x 6 x 4 =
20 x 8 x 10 = 
10 x 5 x 10 =
3 x 100 x 7 =
42 x 3 x 100 =
12 x 6 x 5 =

Applica la proprietà distributiva, come nell'esempio:

26 x 15 = 26 x (10 + 5) = (26 x 10) + (26 x 5) = 260 + 130 = 390

Applica la proprietà invariantiva della divisione per semplificare questi calcoli.

Proponiamo agli alunni situazioni di calcolo e discutiamo con loro su quali strategie attuare per rendere possibile e veloce il calcolo in riga o mentale.

Come possiamo fare per eseguire velocemente divisioni dei seguenti tipi?

: 5	: 50	: 500
X 2 : 10	X 2 : 100	X 2 : 1000
: 20	: 30	: 40
: 10 : 2	: 10 : 3	: 10 : 4
: 25
X 4 : 100

Propongo alcuni quesiti tratti da precedenti prove Invalsi.

Anna pensa un numero maggiore di 200 e lo moltiplica per 5. Sicuramente il risultato è

A. □ un numero dispari

B. □ un numero minore di 2 000

C. □ un numero maggiore di 1 000

D. □ esattamente 1 000

Nella tua classe l’insegnante chiede di moltiplicare a mente 730 x 50. Scrivi come faresti tu per trovare rapidamente il risultato usando il calcolo mentale.

Risposta: ………….........……………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………...............................

………………………………………………………………………………….………..............................

Martina usa la calcolatrice per moltiplicare 721 per 7,25. Si sbaglia e dimentica di digitare la virgola sulla tastiera. Per correggere il suo errore deve

A. 􀆑 moltiplicare il risultato per 100

B. 􀆑 aggiungere 100 al risultato

C. 􀆑 dividere il risultato per 10

D. 􀆑 dividere il risultato per 100

Un test/gioco on line per i tuoi alunni

Una verifica scritta sulle proprietà della moltiplicazione e della divisione

Ulteriori risorse dal Web

Vedi U. A. di riferimento

Frazione come operatore su quantità e numeri - classe quinta

Abbiamo già ripassato la frazione vista come operatore su quantità continue. Proseguiamo ora il discorso facendo notare agli alunni che la frazione può anche essere considerata come operatore su quantità discontinue, si può cioè frazionare un insieme di oggetti.

"Oggi in classe sono presenti 20 alunni. Di questi i 3/5 hanno già completato il problema assegnato. Quanti sono gli alunni che hanno terminato?"

Operiamo concretamente e poi rappresentiamo graficamente e con le operazioni.

Svolgiamo altri esempi simili e poi rappresentiamo schematicamente la procedura seguita.

La frazione può essere considerata anche come operatore su numeri, si può cioè frazionare un numero, seguendo la procedura già conosciuta e applicata con le quantità discontinue.

Io ho trovato molto utile far esercitare gli alunni, soprattutto quelli con maggiori difficoltà, con queste due attività, presenti sull'ottimo sito Baby Flash: frazioni di quantità e frazioni di numeri.

Ecco una scheda di esercitazione per gli alunni: fai clic per stamparla.

Vediamo ora di affrontare collettivamente una situazione problematica in cui gli alunni, per rispondere alla domanda, debbano calcolare il valore di una frazione. Ad esempio:

Proponiamo anche, sempre con lavoro collettivo, una situazione in cui il calcolo della parte frazionaria sia un passo intermedio per rispondere alla domanda del problema. Ad esempio:

Dopo gli esempi svolti insieme, facciamo esercitare gli alunni individualmente su alcune situazioni problematiche dei due tipi. Ad esempio:
In un'azienda sono occupati 372 lavoratori. I 4/6 sono operai. Quanti sono gli operai?
In provincia di Imperia vivono 214 100 abitanti. 1/4 di questi ha un'età inferiore a 30 anni. Qual è il numero di abitanti che superano i 30 anni?
(notiamo che questo problema si può risolvere in due modi: a) trovare il valore di 1/4 e poi con una sottrazione trovare il valore della parte rimanente. b) individuare la frazione complementare 3/4 e calcolare quindi il valore di 3/4)

Propongo anche due esercizi tratti da precedenti prove Invalsi.

Per il suo compleanno Giovanni porta a scuola un vassoio con 32 pasticcini di qualità diverse: metà alla crema, un quarto al cioccolato, un ottavo alla frutta e il resto con pasta di mandorle.

Quanti sono i pasticcini con pasta di mandorle?

A. □ 4

B. □ 8

C. □ 12

D. □ 16

Un muratore per costruire un muro deve preparare 180 kg di malta, un impasto di cemento, sabbia e acqua.

La tabella che segue indica le proporzioni in cui i tre materiali devono essere mescolati.

Completa la tabella che segue, scrivendo il peso della sabbia e dell’acqua necessarie per preparare la malta.

Una verifica scritta sul calcolo del valore delle frazioni

Vedi U. A. di riferimento