L'area dei poligoni regolari - classe quinta

Studiando in geografia la Puglia, nell'ambito delle regioni dell'Italia Meridionale, ci siamo imbattuti nel curioso Castel del Monte, universalmente noto per la sua pianta ottagonale.

Partiamo proprio dalla pianta del castello per rivedere, prima di procedere oltre, il concetto di poligono regolare.

I poligoni regolari sono poligoni con lati ed angoli congruenti. Sono: triangolo equilatero, quadrato, pentagono regolare, esagono regolare, ettagono regolare, ottagono regolare, ecc. 

Consegniamo agli alunni due esagoni congruenti e quindi equivalenti: possiamo ricavarli da questa scheda.

Facciamo ritagliare ed incollare sul quaderno il primo esagono, poi facciamo ritagliare il secondo esagono, scomponendolo nei triangoli che lo costituiscono e facciamo incollare anche questi sul quaderno. Notiamo che l'esagono si può scomporre in 6 triangoli congruenti.

Proviamo anche con un altro poligono regolare, ad esempio il quadrato fino a scoprire che ogni poligono regolare è scomponibile in tanti triangoli uguali quanti sono i suoi lati. L’altezza di ciascuno dei triangoli uguali è detta apotema.

Disegniamo sul quaderno due quadrati con i lati rispettivamente di 5 e di 4 cm. Scomponiamo i quadrati in quattro triangoli congruenti e tracciamo l'apotema. Misuriamo l'apotema tracciata: nel primo caso la lunghezza è 2,5 cm, nel secondo quadrato l'apotema misura 2 cm.

Notiamo che in ogni quadrato l'apotema misura sempre la metà del lato.
Dividiamo ora la misura dell'apotema per la misura del lato.

Proviamo con un altro poligono regolare, ad esempio con il triangolo equilatero.

Possiamo dire che in ogni poligono regolare il rapporto tra apotema e lato è costante e si chiama numero fisso.

Ogni poligono regolare ha quindi un numero fisso, cioè un rapporto fisso tra la misura dell'apotema e quella del lato.

Ecco una tabella dei numeri fissi di alcuni poligoni regolari:

Triangolo equilatero	0,288
Quadrato	0,5
Pentagono regolare	0,688
Esagono regolare	0,866
Ettagono regolare	1,038
Ottagono regolare	1,207

Facciamo completare una prima tabella, in cui dato il lato gli alunni debbano calcolare la misura del perimetro.

FIGURA	LATO	PERIMETRO
Pentagono regolare	13,5 cm	……………………………………
Esagono regolare	4,4 cm	……………………………………
Ottagono regolare	8,9 cm	……………………………………

Proseguiamo con una seconda tabella, in cui occorre calcolare la misura del lato o del perimetro.

Presentiamo ancora un'altra tabella in cui occorra calcolare il lato o l'apotema.

Se gli alunni hanno compreso il lavoro fin qui svolto, possiamo procedere alla scoperta del modo di calcolare l'area dei poligoni regolari.

Distribuiamo ad ogni alunno una coppia di esagoni regolari congruenti e dunque equivalenti (fai clic per stamparli). Ritagliamo il primo esagono ed incolliamolo sul quaderno.

Notiamo che non è semplice stabilire quanti cm² misura la sua superficie. Possiamo, però, operando sul secondo esagono fare questa trasformazione.

Si ottiene un romboide con la superficie doppia dell’esagono. Quindi se troviamo l’area del romboide troviamo la doppia area dell’esagono. La base del romboide corrisponde alla somma dei lati dell'esagono (il perimetro) e l’altezza è uguale all’apotema. Quindi:

Realizziamo un algoritmo per il calcolo dell’area.

Suggerisco una mia presentazione in PowerPoint: fai clic per scaricarla.
Proponiamo una tabella da completare, eseguendo i relativi calcoli sul quaderno.

POLIGONO	LATO	APOTEMA	PERIMETRO	AREA
Triangolo equilatero	8 m	…………………	…………………	…………………
Quadrato	10 dm	…………………	…………………	…………………
Pentagono regolare	55 cm	…………………	…………………	…………………
Esagono regolare	7,4 m	…………………	…………………	…………………
Ottagono regolare	100 m	…………………	…………………	…………………

Iniziamo anche a dedicarci alla risoluzione di problemi, procedendo prima collettivamente. Esempio:
"La pianta del castello ottagonale di Castel del Monte, in Puglia, misura 16,30 m per ciascun lato. Al centro vi è un cortile sempre ottagonale con il lato di 7 m. Qual è l'area della parte coperta del castello?"
Procediamo poi con altri problemi a risoluzione individuale o di coppia. Esempi:
"Calcola la misura del lato di un pentagono regolare che ha l'apotema di 18,576 m"
"Calcola la misura del lato di un esagono regolare con l'apotema di 9,526 m"
"Un monumento ha la base esagonale con il lato di 2,5 m. Calcola l'area occupata dalla base".

Una lezione per Lim sull'area dei poligoni regolari

Un test/gioco on line per i tuoi alunni

Una verifica scritta da stampare

Vedi U. A. di riferimento

Il cerchio - classe quinta

Iniziamo l'attività predisponendo alcune esperienze concrete. Noi ci siamo recati in palestra ed abbiamo giocato al Sistema Solare. Un bambino al centro rappresentava il sole e attorno a lui abbiamo disegnato sul pavimento delle linee ellittiche per raffigurare le orbite dei vari pianeti. Abbiamo chiamato il bambino Mercurio e l'abbiamo invitato a camminare lungo la sua orbita e così abbiamo fatto per gli altri bambini/pianeti. Ad un certo punto abbiamo fermato il cammino dei pianeti ed abbiamo chiesto agli alunni: "Nel vostro percorso attorno al sole avete percorso una linea retta o curva? Aperta o chiusa? Eravate sempre alla stessa distanza dal Sole? Possiamo dunque dire che tutti i punti sulla linea del vostro percorso si trovano alla stessa distanza dal centro?"

E' evidente che nei percorsi effettuati ci sono dei punti più vicini e dei punti più lontani dal centro.

Immaginiamo ora un satellite che ruota attorno al suo pianeta con un'orbita circolare, mantenendo sempre la stessa distanza dal centro.

Come facciamo a tracciare sul pavimento una linea curva i cui punti siano tutti alla stessa distanza dal centro?

Prepariamo un bastone e 2 corde di diversa lunghezza; annodiamo una corda, la più lunga, al bastone e fissiamo un gesso all'estremità della corda.

Tenendo fermo il bastone, tracciamo una circonferenza. Facciamo notare che la linea tracciata (il confine) si chiama circonferenza, mentre la parte di superficie racchiusa dalla circonferenza si dice cerchio. Facciamo altresì notare che per tracciare una circonferenza è necessario un centro ed un raggio.

Facciamo percorrere la circonferenza, disponiamo i bambini sulla circonferenza e notiamo l’equidistanza dal centro. Tutti i punti della circonferenza sono equidistanti dal centro ( perciò tutti i raggi di un cerchio hanno la stessa lunghezza).

Proviamo a passare da un punto all'altro della circonferenza, transitando per il centro (diametro) o senza passare per il centro (corda). Percorriamo un tratto di circonferenza (arco) e delimitiamo col gesso un settore circolare.

Tracciamo una seconda circonferenza e facciamo notare la corona circolare.

Dovremo ora trasporre sul quaderno ciò che abbiamo imparato dall'esperienza concreta in palestra.

Propongo ora due schede per controllare se i bambini hanno compreso l'esatta terminologia relativa alle parti del cerchio: fai clic per stampare la prima scheda.

Fai clic per stampare la seconda scheda.

Consideriamo due oggetti circolari che abbiamo a disposizione in classe: noi, ad esempio, abbiamo considerato due piccoli specchi rotondi. Misuriamo il raggio ed il diametro di entrambi. Di cosa ci accorgiamo?

Come possiamo misurare la circonferenza di un cerchio? Vogliamo ad esempio misurare la circonferenza di un raccoglitore di cd.

Usiamo una corda o un metro a nastro che disponiamo sulla circonferenza

e che poi distendiamo ottenendo un segmento: rappresenta la circonferenza rettificata. 

Misuriamo ora il diametro 

e vediamo quante volte è contenuto nella circonferenza rettificata: è contenuto 3 volte ed un pezzetto.

Proviamo a ripetere la misurazione usando un altro oggetto circolare, ad esempio il tappo di un contenitore.

Anche in questo caso possiamo vedere come il diametro sia contenuto nella circonferenza 3 volte ed un pezzetto.

Questo rapporto resta dunque costante per tutti i cerchi: si tratta di un numero decimale illimitato che si avvicina a 3,14 e che è stato chiamato con la lettera P dell'alfabeto greco: π (pi greco).

Possiamo allora ricavare le formule per il calcolo della circonferenza, da cui estrarremo anche le formule inverse.

Sintetizziamo quanto abbiamo appreso.

Attraverso un lavoro collettivo facciamo completare agli alunni una tabella come questa:

raggio	4 cm	…………	…………	12 m	…………	4,5 m	…………
diametro	…………	11 cm	…………	…………	122 cm	…………	5 cm
circonferenza	…………	…………	62,8 dm	…………	…………	…………	…………

Passiamo poi a proporre attività simili, da svolgere attraverso il lavoro individuale.

Si può proporre anche l'esecuzione di una scheda: fai clic per stamparla.

Iniziamo a considerare anche qualche situazione problematica, da affrontare con risoluzione collettiva. Ad esempio:
"Una piscina di forma circolare ha il raggio di 21,65 m; la stessa misura ha l'apotema di una piscina a forma esagonale. Quanti metri è più lungo il perimetro della piscina esagonale?"
Possiamo proporre alcuni semplici problemi, utilizzando una scheda come la seguente: fai clic per stamparla.

Altre possibili situazioni:

Una lezione per Lim Smart sul cerchio

Un test/gioco on line per i tuoi alunni

Una verifica scritta da stampare

Ulteriori risorse dal Web

Vedi U. A. di riferimento

Problemi logici - classe quinta

Molte e di diverso tipo possono essere le situazioni in cui esercitare il pensiero logico, non riservate solo all'ambito matematico. Qui mi limito a proporre alcuni spunti per attività che esercitino il ragionamento deduttivo, in cui dal possesso di alcuni dati possano ricavarsi altre informazioni.
Ad esempio:
"Beatrice la prossima estate andrà in vacanza in una regione dell'Italia Meridionale e Insulare. Ci dà alcuni indizi per scoprire di quale regione si tratta:

• non è un'isola
• è bagnata dal Mar Tirreno
• non è bagnata dal Mar Ionio

Hai capito di quale regione si tratta?"

Se non hai capito prova a seguire questo ragionamento:

"Non è un'isola quindi escludiamo Sardegna e Sicilia. E' bagnata dal Mar Tirreno quindi può essere solo o Campania o Basilicata o Calabria. Non è bagnata dal Mar Ionio quindi escludiamo Basilicata e Calabria. La regione in cui si recherà Beatrice è dunque la ...............".

Consideriamo un altro esempio:

"Giovanni tifa per una delle squadre di cui vedi le maglie e la città di provenienza. Anche Giovanni ci fornisce indizi per scoprire di quale squadra si tratta.

• la squadra gioca in un capoluogo di regione
• la maglia ha delle strisce 
• la maglia non ha strisce orizzontali
• La maglia ha più di due strisce
• la maglia non ha il colore rosso
• la maglia non è bianconera

Per quale squadra tifa Giovanni?"

Anche in questo caso possiamo procedere per esclusioni successive.

"Se la squadra di Giovanni gioca in un capoluogo di regione possiamo escludere l'Udinese. La maglia ha delle strisce quindi escludiamo il Torino. Le strisce però non sono orizzontali quindi escludiamo la Sampdoria. La maglia ha più di due strisce quindi eliminiamo il Genoa e non ha il colore rosso quindi escludiamo pure il Milan, non è bianconera quindi escludiamo la Juventus. Giovanni tifa per ......................."

Per proseguire l'attività ho scelto la modalità del lavoro di gruppo, dividendo gli alunni della classe in sette gruppi di tre o quattro alunni ciascuno e consegnando a ciascun gruppo le sette schede di cui trovate il link in basso (le schede non sono opera mia, le ho rintracciate sul mio pc perchè da me scaricate in anni passati e non ho quindi la possibilità di risalire alla fonte originaria).
Ogni gruppo potrà quindi procedere in modo autonomo alla risoluzione dei problemi logici: importante sarà il momento finale del confronto e della discussione sulle modalità di soluzione individuate dai vari gruppi.
Ecco i link per le sette schede:
il falegname
la galleria
la navicella Kzr
numeri 
telefono
triangolo magico
fruttivendolo

Soluzione per la scheda "Telefono"

                            

	1	2
3	6	8	9
4	7	5	10
	12	11

                                        

La somma è sempre 26

 

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